Угол Общая вершина называется вершиной угла. Сами лучи называются сторонами угла. Углом называется фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной. Угол обозначается или одной буквой, указывающей его вершину, или тремя буквами, средняя из которых указывает вершину угла, а крайние – какие-нибудь точки на сторонах угла. Например, A, AOB и т.д.

Равенство углов Одной из основных операций, которую можно производить с углами, является операция откладывания данного угла в ту или другую сторону от данного луча. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Равенство углов АОВ и А 1 О 1 В 1 записывается в виде АОВ = А 1 О 1 В 1. Оно означает, что если один из этих углов, например АОВ, отложить от луча О 1 А 1 в сторону, определяемую лучом О 1 В 1, то угол АОВ при этом совместится с углом А 1 О 1 В 1. Если при откладывании угла АОВ от луча О 1 А 1 луч ОВ переходит в луч O 1 B', лежащий внутри угла А 1 О 1 В 1, то говорят, что угол АОВ меньше угла А 1 О 1 В 1 и обозначают АOВ < А 1 O 1 В 1.

Измерение углов За единицу измерения углов обычно принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла. Считают, что величина этого угла равна одному градусу, обозначают 1 о. Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле. Для измерения величин углов применяют различные инструменты, простейшим из которых является известный вам транспортир.

Астролябия Одним из первых угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом ( гг. до н. э.) и усовершенствованная немецким ученым Региомонтаном ( ). Она состояла из тяжелого медного диска - лимба, который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально и линия Г 1 Г 2 принимала горизонтальное положение. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. Кроме этого, на лимбе имелась полоса А 1 А 2, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечные пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами.

Квадрант Другим инструментом для измерения углов был квадрант, представляющий собой одну четвертую часть астролябии. Квадрант имел то преимущество перед астролябией, что его можно было сделать значительно больших размеров и тем самым увеличить точность измерения углов.

Теодолит Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в настоящее время для выполнения геодезических работ, является теодолит, состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. На вертикальном лимбе имеется зрительная труба, с помощью которой алидады вертикального и горизон- тального лимбов наводятся на объект наблюдения. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Упражнение 1 Среди углов, изображенных на рисунке, укажите равные углы. Ответ: а), д), и); б), г) з); в), е), ж).

Упражнение 2 Какой из углов, изображенных на рисунке, больше? Ответ: AOB.

Упражнение 3 Расположите номера в порядке возрастания величины соответствующих углов. Ответ: 3, 2, 5, 6, 1, 4.

Упражнение 4 От луча PQ отложите угол QPR, равный углу AOB. Ответ:

Упражнение 5 От луча PQ отложите угол QPR, равный углу AOB. Ответ:

Упражнение 6 На рисунке найдите величины углов: а) AOB; б) AOC; в) AOD; г) BOC; д) BOD; е) COD. Ответ: а) 60 о ;б) 90 о ;в) 130 о ;г) 30 о ;д) 70 о ;е) 40 о.

Упражнение 7 Найдите величину угла AOB, изображенного на рисунке: а) б) Ответ: а) 120 о ;б) 100 о.

Упражнение 8 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) ~26 о ;б) ~64 о ;в) 135 о.

Упражнение 9 Изобразите углы, равные данным на рисунке. С помощью транспортира найдите их приближенную градусную величину. Ответ: а) 45 о ;б) 90 о ;в) ~117 о.

Упражнение 10 Колесо имеет восемь спиц. Чему равен угол между соседними спицами? Ответ: 45 о.

Упражнение 11 Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 20 о.

Упражнение 12 Колесо имеет 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 30 о.

Упражнение 13 Колесо имеет 20 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. Ответ: 18 о.

Упражнение 14 Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спицами равны 18 о ? Ответ: 20.

Упражнение 15 Сколько зубцов имеет колесо зубчатой передачи, если дуга окружности этого колеса, заключенная между двумя соседними зубцами, равна 12 о ? Ответ: 30.

Упражнение 16 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 10 мин? Ответ: 60 о.

Упражнение 17 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 5 мин? Ответ: 30 о.

Упражнение 18 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 20 мин? Ответ: 120 о.

Упражнение 19 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 25 мин? Ответ: 150 о.

Упражнение 20 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 45 мин? Ответ: 270 о.

Упражнение 21 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 40 мин? Ответ: 240 о.

Упражнение 22 На сколько градусов повернется минутная стрелка за 50 мин? Ответ: 300 о.

Упражнение 23 На сколько градусов повернется часовая стрелка за 20 мин? Ответ: 10 о.

Упражнение 24 На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 8 часов? Ответ: 120 о.

Упражнение 25 За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на 90 о ? Ответ: 6.