Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекция 4

Уравнение первого порядка Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение дифференциального уравнения Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение, разрешенное относительно производной Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

Постановка задачи Коши Задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию при,называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения, проходящую через данную точку.

Уравнение с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:. Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций, а затем интегрируют.

Пример Разделим переменные в уравнении Интегрируем: Имеем:.

Понятие однородной функции Функция z=f(x,y) называется однородной порядка k, если при умножении ее аргументов на t получаем: Если k=0, то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция нулевого порядка.

Однородные уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y = или к виду где и – однородные функции одного порядка.

Разрешим уравнение относительно производной : Разделив числитель и знаменатель дроби на, имеем:

Интегрируем: Исключая вспомогательную функцию и, окончательно получим: или

Линейные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид. Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v- вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

Уравнение Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид, где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

Линейное уравнение решим с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции. Приравняем к нулю выражение в скобках: Тогда Найдем v: Реш