Тройной интеграл Лекция 9

Трехмерная область Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью G. Пусть в области V и на её границе определена некоторая непрерывная функция u=f(x,y,z), где (x,y,z) – прямоугольные декартовы координаты точки области. Например, если f(x,y,z)0, то эту функцию можно считать плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Составление интегральных сумм Разобьём эту область V произвольным образом на элементарные ячейки с объёмами (i=1, 2, …, n). В каждой такой ячейке выберем произвольную точку Mi, вычислим значения функции в этих точках и составим интегральную сумму.

Определение Назовём диаметром области максимальное расстояние между двумя точками области, лежащими на границе. Устремим максимальный диаметр ячеек к нулю и перейдём к пределу в интегральных суммах.

Определение Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что максимальный диаметр ячеек стремится к нулю, не зависящий ни от разбиения области V на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется тройным интегралом по области V от функции f(x,y,z) и обозначается

Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям: 1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках; 2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D. Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью.

Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле =

Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0.

Решение.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах При переходе от декартовых координат к цилиндрическим по формулам x=rcosφ, y=rsinφ, z=z тройной интеграл по области V преобразуется к виду где - это элемент объёма dv в цилиндрических координатах.

Объем тела В декартовых координатах объем тела равен

Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид

Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1.

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (внутри параболоида).

Решение Вычислим объём тела, переходя к цилиндрическим координатам. Для этого запишем уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:. Очевидно, поверхности пересекаются при z=. Вычислим теперь объём тела.

Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим