Лекция 12. Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний

Рассмотрим один из методов моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания - построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебания. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные – фактор времени и три фиктивные переменные.

Каждая фиктивная переменная равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

Например, при моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k=4, а общий вид модели следующий:

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

Таким образом, фиктивные переменные позволяют определить величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

Параметр b в этой модели характеризуют среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель (*) есть аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Пример Построим модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных для данных о потреблении электроэнергии за 16 кварталов, млн.кВт.ч. 16,0 24,4 35,0 49,0 57,2 64,8 76,0 810,0 98,0 105,6 116,4 1211,0 139,0 146,6 157,0 1610,8

Составим матрицу исходных данных 11006, , , , , , , , , , , , , , , ,8

Оценим параметры уравнения регрессии (*) обычным МНК. Результаты оценки приведем в табл. переменнаякоэффициентt-критерий Const t x 1 x 2 x R 2 =0,985

Уравнение регрессии имеет вид:

Влияние сезонной компоненты в каждом квартале статистически значимо (t крит =2). Сезонные колебания в I, II, III кварталах приводят к снижению этой величины. В уровнях ряда присутствует возрастающая тенденция.

КОИНТЕГРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ОПР. Коинтеграцией называется зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций.

Рассмотрим уравнение регрессии вида: Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов и является критерий Энгеля-Грангера.

Алгоритм применения этого критерия следующий: 1. Выдвигается ноль-гипотеза об отсутствии коинтеграции между рядами и. 2. Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида (**) Где -первые разности остатков, полученных из соотношения 3.Определяют фактическое значение t- критерия для коэффициента регрессии в уравнении (**).

4.Сравнивают полученное значение с критическим значением статистики. Если фактическое значение больше критического значения для заданного уровня значимости, то ноль-гипотезу об отсутствии коинтеграции исследуемых временных рядов отклоняют и с вероятностью принимают альтернативную гипотезу о том, что между рядами и есть коинтеграция. В противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не отклоняется.

Поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени.

Пример. Пусть имеются данные о среднедушевом располагаемом доходе и среднедушевом расходе на конечное потребление в США в период с 1960 по 1991 г. Провести тестирование временных рядов среднедушевого дохода и расхода на потребление на коинтеграцию.

Год, Среднедушевой располагаемый доход Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки Скорректированные остатки дохода,расхода, , ,982092,871862, ,612207,952023, ,122196,602042, ,942520,302222, ,572581,032326, ,992627,082396, ,292690,452334, ,882762,832562, ,982762,322543, ,102880,592480, ,742920,732583, ,173051,892855, ,573430,272889, ,652813,122501, ,903018,912719, ,653251,033050, ,003256,783055, ,393545,963153, ,763409,943052,98

Год, Среднедушевой располагаемый доход (долл.США), Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки, Скорректированные остатки дохода, расход а, ,413239,062826, ,663414,812945, ,443294,862940, ,653505,153328, ,754037,343477, ,943771,213556, ,933898,473587, ,393677,403585, ,224027,493751, ,113916,293631, ,763938,353565, ,773681,063386,19

Регрессионный анализ зависимости среднедушевых расходов на конечное потребление от среднедушевого располагаемого дохода показал следующее: Константа -174,746 Коэффициент регрессии 0, Стандартная ошибка 0, R-квадрат 0, Число наблюдений 32 Число степеней свободы 30 Уравнение регрессии имеет вид:

Применим критерий Энгеля-Грангера. Воспользовавшись полученным уравнением регрессии,определим остатки (см. табл.). Определим параметры уравнения регрессии: Константа -1,7293 Коэффициент регрессии -0,2724 Стандартная ошибка 0, R-квадрат 0, Число наблюдений 31 Число степеней свободы 30

Фактическое значение t-критерия, рассчитанное по данным уравнения регрессии,равно -2,154. Критическое значение =1,9439 Вывод: с вероятностью 95% можно отклонить ноль-гипотезу и сделать вывод о коинтеграции временных рядов среднедушевого дохода и среднедушевых расходов на конечное потребление