НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения с одним неизвестным

Нелинейные уравнения: алгебраические (содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные) трансцендентные (содержащие другие функции (тригонометрические, показа- показательные, логарифмические и др.)).

1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Пусть мы нашли отрезок, на котором функция меняет знак, т.е. на котором находится значение корня, т. е. В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка:

Далее исследуем значения функции на концах отрезков и Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка.

В качестве первого приближения корня принимаем

Таким образом, k-е приближение вычисляется как

после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций он сокращается в 2k раз:

Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого числа : Взяв в качестве приближенного решения k-е приближение корня:, учитывая, что получим

Последнее неравенство выполнено, если

метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность.