Матрицы лекция 2

Определение Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел, где,, состоящая из строк и столбцов.

Краткое обозначение матрицы

Матрица размера m m называется квадратной. Матрица, имеющая только одну строку, называется матрицей-строкой. Матрица, имеющая только один столбец, называется матрицей-столбцом.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы.

Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Квадратная матрица вида называется единичной и обозначается Е.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица называется транспонированной по отношению к матрице

Действия над матрицами. Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B с одинаковыми индексами.

Произведением матрицы на число называется матрица, получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на число.

Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=A+(-B).

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера, элемент которой, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B.

Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВВА, т.е.произведение матриц не обладает свойством перестановочности сомножителей.

Пример Вычислить

Свойства операций над матрицами 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.(A+B)k=kA+kB

4. (AB)C=A(BC) 5. A(B+C)=AB+AC 6. A+O=A 7. AE=EA=A

Если и две квадратные матрицы одного порядка, то определитель их произведения равен произведению их определителей:

Обратная матрица

Пусть - квадратная матрица. Обратной для неё матрицей называется квадратная матрица того же размера, обозначаемая и удовлетворяющая условию

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и при этом единственная матрица, обратная к матрице А. При этом, где - алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы.

Замечание Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам строк матрицы А располагают в столбцах с теми же номерами, что и строки данной матрицы А.

Пример Найти матрицу, обратную к матрице