Декартовы произведения Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b, в котором зафиксирован порядок расположения элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар Упорядоченной парой называется множество (а;b)={{a};{a, b}}.

Теорема 1 Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y. Доказательство Из (a; b)=(x; y) следует {{a};{a; b}}={{x};{x; y}}. Равенство двух двухэлементных множеств возможно лишь при равенстве составляющих их элементов. Здесь возможны два случая: 1) {a}={x}, {a; b}={x; y} или 2) {a}={x, y}, {a; b}={x}. В первом случае из равенства {a}={x} следует а=х, а из второго равенства и того, что а=х, следует у=в, что и требовалось доказать. Во втором случае из равенства {a}={x, y} следует а=х=у, а из равенства {a; b}={x} следует х=а=в. В частности, а=х и в=у. Теорема доказана.

Определение 2 1) (a; b)={{a};{a; b}}; 2) (a 1,a 2,...,a n,a n+1 )=((a 1,a 2,...,a n ),a n+1 ). Упорядоченные наборы длины n называются также упорядоченными n-ками, векторами, кортежами. Теорема 2. Доказательство Индукция по n. При n=2 это есть теорема 1. Допустим, утверждение верно при n=k, то есть допустим, что из равенства следует.

Докажем теорему при n=k+1. Пусть Это можно переписать по определению следующим образом: По теореме 1 из равенства пар вытекает и По индуктивному предположению получаем Определение 3 Декартовым произведением множеств А и В называется множество

Пример Пусть A={1;2}, B={a, b, c}, тогда А х В={(1;a);(1;b);(1;c);(2;a);(2;b);(2;c)}; а В х А={(a;1);(b;1);(c;1);(a;2);(b;2);(c;2)}. Очевидно, что, вообще говоря, Определение 4 а) Множество – декартово произведение n множеств; б) - (n cомножителей) – n-aя декартова степень множества А; в). Установим связь между декартовыми произведениями и ранее введенными теоретико-множественными операциями. в)

Теорема 3 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда а) ; б) ; в). Доказательство а) Возьмем Следовательно,.

б) Возьмем Следовательно,. в) Возьмем

Поскольку в цепочке преобразований не везде стоят эквивалентности, а в одном месте стоит всего импликация, мы доказали включение Необходимо доказать включение в другую сторону. Возьмем Следовательно,.

Теорема 4 Если множество А состоит из m элементов, а В – из n элементов, тогда А х В состоит из m х n элементов. Доказательство Доказываем индукцией по числу n-элементов множества В. При n=1 имеем, поэтому, то есть A х B имеет m = m х 1 элементов. Допустим, теорема верна при n=k. И пусть теперь В состоит из к+1 элемента, то есть где. Тогда.

Первое множество состоит из m х k элементов по индуктивному предположению, второе множество состоит из m элементов, как отмечалось в базисе индукции. Кроме того,, так как, поэтому множество А х В состоит из mk+m=m(k+1) элементов, что и требовалось доказать.