ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х). Их можно записать в виде где х независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция, которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных постоянных C 1, С 2,..., С n : Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке) краевая задача (дополнительные условия задаются в более чем одной точке)

Пример: Задачи Коши Краевые задачи

Решение задачи Коши. сущность метода конечных разностей. состоит в следующем: 1. область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек - узлами. Эти узлы составляют разностную сетку.

2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (сеточной функцией). 3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.