Свойства коэффициентов регрессии и проверка гипотез
1. Случайные составляющие коэффициентов регрессии Модель : x – неслучайная экзогенная переменная Уравнение регрессии : Коэффициенты регрессии – случайные величины Теорема
2. Условия Гаусса-Маркова (предположения о случайном члене) постоянна для всех наблюдений или Дополнительно: u распределено по нормальному закону
Необходимо понимать Если условия не выполнимы, вы должны это сознавать Если корректирующие действия возможны, то аналитик должен быть в состоянии их выполнить Если ситуацию исправить невозможно, вы должны быть способны оценить, насколько серьезно это может влиять на результаты
3. Несмещенность коэффициентов регрессии 1. –И если x – неслучайная величина, то 2.
4.Точность коэффициентов регрессии Теоретические дисперсии оценок a и b Выводы: –a и b прямо пропорциональны дисперсии остаточного члена –чем больше число наблюдений, тем меньше дисперсии –чем больше дисперсия x, тем меньше дисперсии коэффициентов
Оценки стандартных отклонений коэффициентов Термин «стандартная ошибка» Применение: 1) проверка существенности коэффициента регрессии 2) построение доверительных интервалов
5. Оценка существенности коэффициента регрессии и свободного члена Фактическое значение t-критерия сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2) - фактические значения Теорема Доказательство:
Продолжение доказательства
Дисперсионный анализ результатов регрессии
Значимость коэффициента корреляции Стандартная ошибка коэффициента корреляции Фактическое значение t-критерия Стьюдента
Теорема Доказательство: –Смотри выражения для t r и F. Вывод: проверка гипотез о значимости коэффициента регрессии b и коэффициента корреляции r равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения в целом.
6. Доверительные интервалы параметров регрессии Доверительный интервал для коэффициента регрессии Доверительный интервал для свободного члена регрессии Доверительный интервал для коэффициента корреляции
7. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии Точечный прогноз y p дополняется интервальной оценкой прогнозного значения Теорема
Доказательство. Тогда т.к.,то и
Доверительные границы для : Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения y составит