лекция 4 План лекции 4 Теория дискретных линейных систем Разностные уравнения Z-преобразование и его свойства Представление ЛПП-систем в Z-области

лекция 4 Линейные системы Линейные системы Определение: Линейная система - это система, к которой применим принцип суперпозиции: Если X1(n) и X2(n) - некоторые входные последовательности, а Y1(n) и Y2(n) - соответствующие им выходы ЛС, то при подаче на вход последовательности aX1(n) + bX2(n) на выходе образуется последовательность aY1(n) + bY2(n), где а и b - произвольные постоянные ЛС X(n) Y(n)

лекция 4 Линейные системы с постоянными параметрами Линейные системы с постоянными параметрами Определение: система с постоянными параметрами (ЛПП-система) характеризуется тем, что если входной последовательности X(n) соответствует выход Y(n), то входной последовательности X(n-n 0 ) при любых n 0 соответствует на выходе Y(n-n 0 ). Это свойство еще называется инвариантностью во времени. ЛПП X(n-n 0 ) Y(n-n 0 )

лекция 4 Простые дискретные ЛПП системы в)накопитель x(n) y(n)=x(n-1) D + a) Сумматор y(n) x(n) y(n) = Kx(n) K б) Усилитель x(n) z(n) = x(n) y(n) x(n) y(o)

лекция 4 Соотношение вход-выход во времени h(n) - откликом системы на единичный импульс (n) параметры системы постоянны, поэтому h(n-m) будет откликом на воздействие (n-m) Из свойства линейности следует, что откликом на воздействие x(m) (n-m) будет последовательность x(m)h(n- m) Поэтому выходной отклик на произвольную входную последовательность будет определяться дискретной сверткой h(n) y(n)

лекция 4 Свойства ЛПП-систем Определение: ЛПП - систему называют физически реализуемой, если выход при n=n 0 зависит только от отсчетов входного сигнала x(n) при n n 0, а это означает, что h(n)=0 при n

лекция 4 Разностное уравнение Линейное разностное уравнение М-го порядка, связывающее входной сигнал x(n) с выходным y(n): Решать разностное уравнение необходимо потому, что оно описывает взаимосвязь вход-выход ЛПП-систем лишь в неявной форме

лекция 4 Использование разностного уравнения Значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы. Разностное уравнение первого порядка: D D x(n) y(n) -a 1 b1b1 b0b0

лекция 4 Z-преобразование Определение: Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется соотношением где z = r exp (j ) - комплексная переменная Область сходимости Re(z) Im(z) r0r0

лекция 4 Z-преобразование простых последовательностей Пример 1. Z- преобразование единичного импульса (n). Поскольку x(n)=0 при любых n, за исключением n=0, где x(n)=1, то X(z) =1 Пример 2. Z-преобазование задержанной функции единичного отсчета (n-k) равно z -k. Пример 3. Z- преобразование единичной последовательности u 0 (n). Поскольку x(n)=0 везде, кроме n 0, где x(n)=1, то X(z) сходится при |z|>1, имеется одна особая точка (полюс) при z=1.

лекция 4 Свойства Z-преобразования Линейность y(n) = ax 1 (n)+ bx 2 (n) Y(z) = aX 1 (z)+ bX 2 (z) 2. Задержка последовательности. Если Z{x(n)} = X(z) и x(n)=0 при n< 0, то y(n) = x(n-N) имеет Z- преобразование Y(Z) = z -N X(z) 3. Умножение на n. Если y(n)=nx(n), тогда Y(Z) = - zdX(z)/dz 4. Умножение на экспоненту. Если y(n) = a n x(n), тогда Y(Z) = X(a -1 z) 5. Свертка последовательностей. Если Z{x 1 (n)} = X 1 (z) и Z{(x 2 (n)} = X 2 (z), тогда свертка последовательностей имеет Z- преобразование Y(z)= X 1 (z)X 2 (z).

лекция 4 Свойства ЛПП-систем Свойство свертки Z-преобразования имеет очень важное следствие: если y(n) и x 2 (n) являются соответственно выходом и импульсной характеристикой h(n) ЛПП-системы, то Y(Z) = X(z)H(z),( 1 ) где H(z) - Z-преобразование импульсной характеристики, которая называется передаточной характеристикой системы Из (1) получим H(z) = Y(z)/X(z). H(z) X(z) Y(z)

лекция 4 Решение разностных уравнений Z- преобразование является удобным аппаратом для решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Применив Z- преобразование к обеим частям уравнения М-го порядка и используя свойства линейности и задержки, получим линейное разностное уравнение М-го порядка, связывающее входной сигнал x(n) с выходным y(n):

лекция 4 Решение разностного уравнения Y(z) и X(z) - Z-преобразования последовательностей y(n) и x(n). Учитывая, что Y(z)= H(z)X(z),находим Применив обратное Z-преобразование к Y(z) можно найти y(n) по известным x(n) и H(z)