Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона.

Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x 0,x n ], который разбит на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). x=h=const. Для каждого узла x 0, x 1 =x 0 +h,..., x n =x 0 +n h определены значения функции в виде: f(x 0 )=y 0, f(x 1 )=y 1,..., f(x n )=y n.

Конечные разности первого порядка y 0 = y 1 – y 0 y 1 = y 2 – y y n-1 = y n – y n-1. Конечные разности второго порядка 2 y 0 = y 1 – y 0 2 y 1 = y 2 – y y n-2 = y n-1 – y n-2 Аналогично определяются конечные разности высших порядков: k y 0 = k-1 y 1 – k-1 y 0 k y 1 = k-1 y 2 – k-1 y k y i = k-1 y i+1 – k-1 y i, i = 0,1,...,n-k.

Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть: 1. Диагональными; 2. Горизонтальными.

Пусть для функции y = f(x) заданы значения y i = f(x i ) для равностоящих значений независимых переменных: x n = x 0 +nh, где h - шаг интерполяции. Необходимо найти полином P n (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) x i значения: P n (x i ) = y i, i=0,...,n. Запишем интерполирующий полином в виде:

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов а i из условий: P n (x 0 )=y 0 P n (x 1 )=y P n (x n )=y n

Полагаем в интерполирующий полиноме x = x 0, тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0, P n (x 0 ) = y 0 = a 0 a 0 =y 0. Найдем коэффициент а 1. При x = x 1 получим:

Для определения а 2 составим конечную разность второго порядка. При x = x 2 получим:

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид. Подставляя эти выражения в формулу полинома, получаем: где x i,y i – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.

Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x – x 0 )/h, тогда Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.

Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры C р =f(T). Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100 Таблица 1

Составим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2 Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный многочлен при x=450 К.

Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: С p (450)=71,31Дж/(моль К). Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.

Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования. Запишем интерполяционный многочлен в виде:

Коэффициенты а 0,а 1,..., а n определяем из условия: P n (x i ) = y i i=0,...,n. 1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = x n,, тогда

2.Полагаем x=x n-1, тогда: P n (x n-1 )=y n-1 =y n +a 1 (x n-1 – x n ), h=x n – x n-1, Следовательно: 3.Полагаем x=x n-2, тогда

Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:

Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».

Введем обозначения:

Произведя замену, получим Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».

Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К. Воспользуемся второй формулой Ньютона и соответствующими конечными разностями (табл. 2)

Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно: Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).

Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: y i =f(x i ). Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)

если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m

В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 1). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.

1. Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.

2. Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.

3. Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

4. Интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. Такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных. Однако это не является ограничением для использования аппроксимации, где не ставится условие прохождения графика функции через каждую точку.