Лекция Основы теории электрических цепей Лекции профессора ЭЛТИ Юрия Петровича Усова
Лекция Спектр ЭМ колебаний
Лекция Синусоидальные (гармонические) колебания
Лекция Для характеристики синусоидаль-ных колебаний используются: Т[c] – период колебания; f =1/T[Гц] – частота колебаний; ω=2πf=2π/T[рад/c] – круговая частота. n=60f[об/с] – число оборотов элек- тромашинного генератора.
Лекция Т[c] – период колебания; f =1/T[Гц] – частота колебаний; ω=2πf=2π/T[рад/c] – круговая частота. Промышленная частота f=50 Гц, T=0.02 c, ω=314 рад/с.
Лекция i t i I m -I m
Лекция u i t i 0 U m I m I m - -U m i u
Лекция t i, u, p 0 u i p U m I m I m - U m -
Лекция Где: I m и U m - максимальные значения тока и напряжения - начальная фаза напряжения (град или рад) - угол сдвига фаз между напряжением и током (град или рад) - время (с)
Лекция Действующие значения гармонических токов и напряжений
Лекция Действующие значения тока и напряжения характеризуют, например, процесс выделения тепла в линейном резистивном элементе с сопротивлением R
Лекция R u + i ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА: ПО ЗАКОНУ ОМА:
Лекция Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I, который за время Т в том же сопротивлении R выделяет такое же количества тепла W.
Лекция I, I m, i(t)
Лекция При токе и напряжении:
Лекция Действующее значение тока
Лекция Действующее значение напряжения
Лекция Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты и начальной фазы
Лекция
Лекция Символический метод
Лекция Символический метод применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями Этот метод основан на изображении гармонических величин комплексными числами
Лекция Основная идея: проекция вращающегося вектора на любой из диаметров окружности, описываемая его концом, является гармоничес-кой функцией времени
Лекция Следовательно, синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором на комплексной плоскости, причем этот вектор записывается в показательной, тригонометрической и алгебраической формах
Лекция мнимая составляющая вращающегося вектора Таким образом: j – мнимая единица
Лекция b a t=0 >0 1 комплекс действующего значения тока
Лекция b a t=0 +1 0
Лекция t=t 1 t
Лекция t=t t 2 +
Лекция t=t t 3 +
Лекция t=t t 4 +
Лекция t=t 5 t
Лекция Действия с комплексными числами
Лекция Где: - комплексное число - модуль - аргумент (фаза) - вещественная составляющая - мнимая составляющая
Лекция Переход от алгебраической формы записи к показательной форме
Лекция
Лекция При этом 180 градусов учитывается при а
Лекция Переход от показательной формы записи к алгебраической форме
Лекция
Лекция Сложение и вычитание
Лекция
Лекция Умножение
Лекция
Лекция Деление
Лекция
Лекция Возведение в степень
Лекция
Лекция Некоторые соотношения
Лекция
Лекция
Лекция Действия с синусоидальными величинами
Лекция Рассмотрим действия с синусоидальными величинами, имеющими одинаковую угловую частоту
Лекция Сложение
Лекция
Лекция
Лекция Для определения и используются:
Лекция а) комплексные числа определяются и определяются и
Лекция б) вектора на комплексной плоскости плоскости +1 0
Лекция Вычитание
Лекция
Лекция
Лекция Для определения и используются:
Лекция а) комплексные числа определяются и определяются и
Лекция б) вектора на комплексной плоскости плоскости +1 0
Лекция Дифференцирование
Лекция
Лекция В результате при имеем
Лекция Таким образом дифференцированию синусоидальной функции соответствует умножение изображающего ее комплекса на
Лекция Интегрирование
Лекция
Лекция В результате при имеем
Лекция Таким образом интегрированию синусоидальной функции соответствует деление изображающего ее комплекса на
Лекция ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Лекция Закон Ома в комплексной форме основан на символическом методе и справедлив для линейных цепей с гармоническими напряжениями и токами Этот закон следует из физической взаимосвязи между током и напряжением отдельных элементов цепи
Лекция R +j+j +1+1
Лекция На комплексной плоскости вектор напряжения резистивного элемента совпадает по направлению с вектором своего тока
Лекция j+j +1+1
Лекция На комплексной плоскости вектор напряжения индуктивного элемента опережает по направлению вектор своего тока на 90 градусов
Лекция j+j
Лекция На комплексной плоскости вектор напряжения емкостного элемента отстает по направлению от вектора своего тока на 90 градусов
Лекция Где: - индуктивное сопротивление (Ом) - емкостное сопротивление (Ом)
Лекция Например, комплексная схема замещения цепи:
Лекция
Лекция Где: – эквивалентное комплексное сопротивление цепи (Ом) - модуль сопротивления (Ом) - аргумент (фаза) сопротивления (Град)
Лекция ЗАКОНЫ КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Лекция Сложению и вычитанию гармонических токов и напряжений с одинаковой угловой частотой в законах Кирхгофа соответствует сложение и вычитание их комплексных величин
Лекция ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Лекция Для любого узла комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексных значений токов равна нулю
Лекция
Лекция Например : а узел а:
Лекция ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Лекция Для любого контура комплексной cхемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме комплексов ЭДС и напряжений на источниках тока
Лекция
Лекция Например :
Лекция или
Лекция МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
Лекция Решая комплексные алгебраические уравнения, составленные по законам Кирхгофа в комплексной форме, можно определить комплексы токов и напряжений в комплексной схеме замещения цепи
Лекция Например : a + 1 к. 2 к. в
Лекция
Лекция
Лекция
Лекция МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Лекция Метод контурных токов используется для расчета резистивных линейных цепей с постоянными токами и для расчета комплексных схем замещения линейных цепей с гармоническими токами
Лекция При этом в расчет вводятся контурные токи – это фиктивные токи, которые замыкаются в независимых замкнутых контурах, отличающихся друг от друга наличием хотя бы одной новой ветви
Лекция Например : a в с
Лекция контурные токи токи ветвей контура
Лекция По второму закону Кирхгофа: или
Лекция Тогда
Лекция
Лекция суммарное сопротивление к -контура контурный ток к - контура
Лекция общее сопротивление между к -контуром и m - контуром соседний контурный ток m -контура суммарная ЭДС к - контура
Лекция Контурный ток рассматриваемого контура умножается на сумму сопротивлений своего контура, причем перед этим произведением ставится знак +
Лекция Соседний контурный ток умножается на общее сопротивление между соседним и рассматриваемым контурными токами, причем перед этим произведением ставится знак + если направления этих контурных токов в общем сопротивлении совпадают между собой и ставится знак - если направления их не совпадают
Лекция В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС рассматриваемого контура, причем со знаком + берутся те ЭДС, направления которых совпадают с направлением рассматриваемого контурного тока
Лекция Для контура с источником тока контурное уравнение не составляется, так как контурный ток этого контура известен и равен току источника тока, причем через источник тока должен проходить только один контурный ток
Лекция Например : +
Лекция
Лекция
Лекция
Лекция матрица симметрична относительно главной диагонали
Лекция
Лекция по 2 закону Кирхгофа
Лекция Например : d a b c
Лекция
Лекция
Лекция
Лекция
Лекция Таким образом по методу контурных токов необходимо решить значительно меньше уравнений по сравнению с методом законов Кирхгофа
Лекция
Лекция u( t) + а i(t) в
Лекция
Лекция средняя или активная мощность -амплитуда гармонической составляющей мощности или полная мощность
Лекция угол сдвига фаз между напряжением и током - коэффициент мощности
Лекция t Вт P(t) S+P S-P S S P
Лекция Когда - энергия поступает в двухполюсник - энергия поступает из двухполюсника во внешнюю цепь
Лекция Пусть задано: а в
Лекция При находим - комплекс полной мощности -сопряженное значение тока где
Лекция реактивная мощность
Лекция Т.к., то
Лекция это мощность тепловой энергии Таким образом активная мощность:
Лекция пропорциональна максимальной энергии, запасаемой в электромагнитном поле Реактивная мощность:
Лекция это максимально возможная активная мощность при Полная мощность:
Лекция а) треугольник сопротивлений Можно изобразить:
Лекция б) треугольник напряжений
Лекция в) треугольник мощностей
Лекция
Лекция Топографические и лучевые векторные диаграммы используются при анализе и расчете цепей с синусоидаль- ными напряжениями и токами Эти диаграммы строятся совмещенными на комплексной плоскости в масштабах напряжения и тока
Лекция Лучевые векторные диаграммы строятся для комплексов действующих значений токов, когда их вектора выходят из начала координат каждый под своим углом Эти диаграммы используются для графической проверки первого закона Кирхгофа
Лекция Топографические векторные диаграммы строятся для комплексов действующих значений напряжений, когда их вектора подстраиваются один к другому, образуя замкнутые контуры Эти диаграммы используются для графической проверки второго закона Кирхгофа
Лекция Пример 1 d с
Лекция j+j с d
Лекция Пример 2 d с а b
Лекция d +1 +j+j с а b
Лекция Пример 3 а с b
Лекция j+j a b c 45°
Лекция
Лекция Теорема об эквивалентном генераторе применяется для расчета и анализа линейных цепей с постоянными или гармоническими токами и напряжениями Эта теорема доказывается при помощи теоремы компенсации и принципа наложения
Лекция Любой активный двухполюсник, рассматриваемый относительно двух зажимов (выводов), можно представить в виде эквивалентного источника ЭДС или тока, с ЭДС и током равными соответственно напряжению холостого хода или току короткого замыкания относительно этих зажимов
Лекция При этом внутреннее сопротивление этих источников равно эквивалентному сопротивлению активного двухполюсника относительно рассматриваемых зажимов
Лекция а b + а b + b а + А
Лекция где когдапри
Лекция когдапри где
Лекция
Лекция Эта теорема используется как метод эквивалентного генератора для расчета некоторого тока, протекающего в к-ветви
Лекция
Лекция Дано: Определить: Пример
Лекция Схема к примеру b + а А
Лекция
Лекция Теорема об эквивалентном генераторе применяется для расчета и анализа линейных цепей с постоянными или гармоническими токами и напряжениями Эта теорема доказывается при помощи теоремы компенсации и принципа наложения
Лекция Любой активный двухполюсник, рассматриваемый относительно двух зажимов (выводов), можно представить в виде эквивалентного источника ЭДС или тока, с ЭДС и током равными соответственно напряжению холостого хода или току короткого замыкания относительно этих зажимов
Лекция При этом внутреннее сопротивление этих источников равно эквивалентному сопротивлению активного двухполюсника относительно рассматриваемых зажимов
Лекция а b + а b + b а + А
Лекция где когдапри
Лекция когдапри где
Лекция
Лекция Эта теорема используется как метод эквивалентного генератора для расчета некоторого тока, протекающего в к-ветви
Лекция
Лекция Дано: Определить: Пример
Лекция Схема к примеру b + а А
Лекция а) напряжение холостого хода : b + а
Лекция б) эквивалентное сопротивление : b а Тогда
Лекция в) окончательный результат
Лекция Правила преобразований резистивных и комплексных схем замещения линейных цепей
Лекция Преобразования резистивных и комплексных схем используются для их упрощения и могут быть доказаны при помощи законов Ома и Кирхгофа Приведем правила преобразований без доказательства на примере комплексных схем
Лекция Правило разброса
Лекция Обобщенный закон Ома
Лекция Последовательное соединение ЭДС и сопротивлений + +
Лекция
Лекция Параллельное соединение источников тока + +
Лекция Параллельное соединение ЭДС и сопротивлений + +
Лекция
Лекция Замена источника тока на источник ЭДС и наоборот + +
Лекция Преобразование треугольника в звезду и наоборот
Лекция
Лекция
Лекция Перенос источников ЭДС
Лекция Перенос источников тока
Лекция
Лекция На основе приведенных правил можно реализовать метод преобразований для расчета тока или напряжения в к-ветви схемы Для этого схема преобразуется до одного контура с искомым током или напряжением, где эти величины легко определяются
Лекция Пример Определить методом преобразования
Лекция а) перенос источников тока
Лекция б)преобразования соединений сопротивлений и ЭДС
Лекция
Лекция
Лекция Метод наложения
Лекция Метод наложения справедлив для линейных цепей и основывается на принципе наложения, когда любой ток (напряжение) равен алгебраической сумме составляющих от действия каждого источника в отдельности
Лекция
Лекция При этом для расчета составляющих токов и напряжений исходная схема разбивается на подсхемы, в каждой из которых действует один источник ЭДС или тока, причем остальные источники ЭДС закорочены, а ветви с остальными источниками тока разорваны
Лекция Пример Определить
Лекция а) подсхема с :
Лекция
Лекция б) подсхема с :
Лекция
Лекция в) подсхема с :
Лекция
Лекция г) окончательный результат
Лекция Метод узловых потенциалов
Лекция Метод узловых потенциалов используется для расчета сложных линейных схем замещения с постоянными или гармоническими напряжениями и токами Расчетные уравнения данного метода могут быть доказаны при помощи законов Кирхгофа и обобщенного закона Ома
Лекция Получим расчетное уравнение метода узловых потенциалов для узла а некоторой схемы
Лекция
Лекция По обобщенному закону Ома где - проводимости ветвей
Лекция По 1 закону Кирхгофа для узла а: или
Лекция Тогда Т.е. в общем виде для узла к- узла:
Лекция узловая проводимость к - узла; потенциал к - узла
Лекция проводимость ветви, соединяющей к и m узлы - узловой ток к - узла
Лекция Таким образом потенциал рассматриваемого к-узла умножается на сумму проводимостей ветвей подходящих к этому узлу, причем перед этим произведением всегда ставится знак + и проводимость ветви с источником тока равна нулю
Лекция Потенциал соседнего m-узла умножается на проводимость ветви, соединяющей рассматриваемый к-узел с m-узлом, причем перед этим произведением всегда ставится знак -
Лекция В правой части уравнения записывается узловой ток рассматриваемого к-узла, равный алгебраической сумме подходящих к этому узлу токов источников тока и произведений подходящих к этому узлу ЭДС на проводимости своих ветвей
Лекция В узловом токе со знаком + берутся те слагаемые, у которых источники тока и ЭДС направлены в рассматриваемый к-узел
Лекция Потенциал одного из узлов принимается равным нулю, причем за такой узел принимается узел, соединенный с корпусом или землей, или один из узлов, к которому подходит ветвь с нулевым сопротивлением и ЭДС
Лекция Таким образом для схемы с n У узлами по методу узловых потенциалов составляется система, содержащая не более n 1 = n У – 1 уравнений, из решения которых определяются потенциалы узлов, а затем по обобщенному закону Ома рассчитываются токи и напряжения в ветвях схемы
Лекция Пример +
Лекция
Лекция = =
Лекция