1 Дисциплина ЛААГ Консультация (линейная алгебра и векторная алгебра) Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна Васильевна

2 Дополнительные Интернет- ресурсы Ссылка 1.

3 Дополнительные Интернет-ресурсы Ссылка 2.

4 Ссылка 3:

5 Пример произведения матриц Задание.Найдите произведение матриц

6 Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием элементов i-й строки и j-го столбца.

7 Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на :

8 Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. |A|=a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in |A|=a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj

9 Минор M k матрицы A называется её базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка k+1, k+2, …, t равны нулю или не существуют. Строки (столбцы) базисного минора называют базисными строками (столбцами) Рангом матрицы A называется порядок её базисного минора. Обозначают: r(A) или rang(A).

10 2) Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: а) умножение строки (столбца) на число 0; б) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; в) перестановка i-й и k-й строки (столбца); г) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов); д) вычеркивание нулевых строк (столбцов). Матрица B называется эквивалентной матрице A, если она может быть получена из A элементарными преобразованиями. Обозначают: A ~ B.

11 Вычисление определителей четвёртого и более высоких порядков 1. Выбрать рабочую строку (столбец) такую, где есть хотя бы одна единица. Рабочую строку (столбец) не изменяем. 2. Выбрать столбец (строку), в котором нужно получить нули вместо всех элементов, кроме элемента в рабочей строке. Обычно - это столбец (строка) с нулями или числами, близкими к единице. 3. Каждый элемент рабочей строки (столбца) умножить на число, противоположное элементу, на месте которого надо получить ноль, и соответствующие элементы рабочей строки (столбца) и изменяемых строк (столбцов) сложить (элементарные преобразования строк (столбцов)). 4. Разложить определитель по элементам столбца (строки), в котором получили нули, применяя теорему Лапласа. Порядок определителя при этом понижается на единицу.

12 2. Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1, такая, что A·A -1 =A -1 · A=E. Преобразование матричных уравнений Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

13 ТЕОРЕМА. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: где – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е. Матрица называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A. Нахождение решения по формуле называют матричным методом решения системы.

14 Метод Крамера ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n совпадает, и |A| 0, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам где D=|A|, а – определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов. Формулы называются формулами Крамера.

15

16 Схема решения СЛУ

17 Произведения векторов

18 Дополнительные Интернет- ресурсы Ссылка 1.

19 Элементы векторной алгебры

20 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ