4. Работа и энергия Энергия является количественной мерой различных форм движения и взаимодействий всех видов материи. Слово энергия происходит от греческого еnergeia. Различают механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие формы энергии. Механическая энергия бывает двух видов – кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия тела – это энергия его механического движения. Потенциальная энергия – это энергия положения, она зависит от взаимного расположения тел. 4. Работа и энергия Энергия является количественной мерой различных форм движения и взаимодействий всех видов материи. Слово энергия происходит от греческого еnergeia. Различают механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и другие формы энергии. Механическая энергия бывает двух видов – кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия тела – это энергия его механического движения. Потенциальная энергия – это энергия положения, она зависит от взаимного расположения тел.

4.1 Кинетическая энергия и работа Рассмотрим уравнение движения тела Умножим его скалярно на вектор малого перемещения Получим (4.1.1а) Преобразуем левую часть этой формулы. Можем записать 4.1 Кинетическая энергия и работа Рассмотрим уравнение движения тела Умножим его скалярно на вектор малого перемещения Получим (4.1.1а) Преобразуем левую часть этой формулы. Можем записать

Тогда Следовательно Величина (4.1.2a) называется кинетической энергией тела. Она характеризует состояние движения тела, так как зависит от скорости. Поскольку в свою очередь скорость тела зависит от системы отсчета, то кинетическая энергия тела в разных системах имеет разное значение. Тогда Следовательно Величина (4.1.2a) называется кинетической энергией тела. Она характеризует состояние движения тела, так как зависит от скорости. Поскольку в свою очередь скорость тела зависит от системы отсчета, то кинетическая энергия тела в разных системах имеет разное значение.

Используя выражение для импульса, составим скалярное произведение этого вектора самого на себя Поэтому кинетическую энергию можно выразить через импульс (4.1.2b) Теперь рассмотрим правую часть формулы (4.1.1а). Величина (4.1.3) характеризует действие силы при бесконечно малом перемещении и называется элементарной работой. Используя выражение для импульса, составим скалярное произведение этого вектора самого на себя Поэтому кинетическую энергию можно выразить через импульс (4.1.2b) Теперь рассмотрим правую часть формулы (4.1.1а). Величина (4.1.3) характеризует действие силы при бесконечно малом перемещении и называется элементарной работой.

Уравнение (4.1.1а) теперь можно переписать в виде dA = dT (4.1.1b) Следовательно, работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Поэтому работа является мерой энергии. Вернемся к формуле (4.1.3), раскроем скалярное произведение - угол между между направлением силы и направлением перемещения. Уравнение (4.1.1а) теперь можно переписать в виде dA = dT (4.1.1b) Следовательно, работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Поэтому работа является мерой энергии. Вернемся к формуле (4.1.3), раскроем скалярное произведение - угол между между направлением силы и направлением перемещения.

Вследствие малости перемещения его модуль равен элементарному пути dr = ds, поэтому (4.1.4) где - проекция силы на направление перемещения. Таким образом, элементарная работа равна произведению составляющей силы в направлении движения на пройденный элементарный путь. Вследствие малости перемещения его модуль равен элементарному пути dr = ds, поэтому (4.1.4) где - проекция силы на направление перемещения. Таким образом, элементарная работа равна произведению составляющей силы в направлении движения на пройденный элементарный путь.

Работа является алгебраической величиной, то есть величиной со знаком. Если угол острый, то, сила направлена в сторону перемещения, работа положительная. Если угол тупой, то, сила направлена в сторону противоположную перемещению, работа отрицательная. Если угол прямой, то, сила перпендикулярна перемещению, работа равна нулю. Работа является алгебраической величиной, то есть величиной со знаком. Если угол острый, то, сила направлена в сторону перемещения, работа положительная. Если угол тупой, то, сила направлена в сторону противоположную перемещению, работа отрицательная. Если угол прямой, то, сила перпендикулярна перемещению, работа равна нулю.

На конечном участке траектории работа силы между начальной точкой 1 и конечной точкой 2 равна сумме элементарных работ, поэтому она равна криволинейному интегралу по пройденному пути (4.1.5a) Из рисунка ясен геометрический смысл работы – ее величина равна площади под кривой силы на пройденном пути. На конечном участке траектории работа силы между начальной точкой 1 и конечной точкой 2 равна сумме элементарных работ, поэтому она равна криволинейному интегралу по пройденному пути (4.1.5a) Из рисунка ясен геометрический смысл работы – ее величина равна площади под кривой силы на пройденном пути.

Если сила постоянна на всем пути S, то (4.1.5b) В случае постоянной силы работа есть скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения и пути, проходимого точкой приложения силы. Поскольку согласно (4.1.1b) dA = dT, то работу можно определить и путем суммирования изменений кинетической энергии на элементарных участках пути (4.1.6) Следовательно, работа силы идет на приращение кинетической энергии тела. Если сила постоянна на всем пути S, то (4.1.5b) В случае постоянной силы работа есть скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения и пути, проходимого точкой приложения силы. Поскольку согласно (4.1.1b) dA = dT, то работу можно определить и путем суммирования изменений кинетической энергии на элементарных участках пути (4.1.6) Следовательно, работа силы идет на приращение кинетической энергии тела.

Если на тело действует одновременно несколько сил, то согласно принципу суперпозиции сил результирующая сила равна Поэтому элементарная работа результирующей силы равна сумме элементарных работ отдельных сил Единицей измерения работы является джоуль (Дж) – равный работе, совершаемой силой 1 Н на пути 1 м 1 Дж = 1Н·1м Если на тело действует одновременно несколько сил, то согласно принципу суперпозиции сил результирующая сила равна Поэтому элементарная работа результирующей силы равна сумме элементарных работ отдельных сил Единицей измерения работы является джоуль (Дж) – равный работе, совершаемой силой 1 Н на пути 1 м 1 Дж = 1Н·1м

Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощности. Мощность – это работа, совершаемая силой в единицу времени (4.1.7a) Единицей мощности в СИ является ватт (Вт) – равный работе в 1 Дж, совершаемой за 1 сек Внесистемная единица мощности 1 л. с. = 736 Вт Для характеристики скорости совершения работы вводится понятие мощности. Мощность – это работа, совершаемая силой в единицу времени (4.1.7a) Единицей мощности в СИ является ватт (Вт) – равный работе в 1 Дж, совершаемой за 1 сек Внесистемная единица мощности 1 л. с. = 736 Вт

Выразим работу и мощность через силу и скорость. Подставим в (4.1.3) вектор смещения Получим Поэтому работу на конечном участке пути можно определить по формуле (4.1.5c) Для мощности имеем (4.1.7b) Выразим работу и мощность через силу и скорость. Подставим в (4.1.3) вектор смещения Получим Поэтому работу на конечном участке пути можно определить по формуле (4.1.5c) Для мощности имеем (4.1.7b)

4.2 Потенциальная энергия и работа Потенциальная энергия – это механическая энергия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия связана со взаимодействием между телами посредством физических полей. Каждое тело создает в окружающем его пространстве силовое поле, которое проявляет себя в действии сил на другие тела (гравитационное, электрическое и т.д.). Если поле не меняется со временем, то оно называется стационарным. 4.2 Потенциальная энергия и работа Потенциальная энергия – это механическая энергия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия связана со взаимодействием между телами посредством физических полей. Каждое тело создает в окружающем его пространстве силовое поле, которое проявляет себя в действии сил на другие тела (гравитационное, электрическое и т.д.). Если поле не меняется со временем, то оно называется стационарным.

Рассмотрим движение тела в стационарном поле из одной точки пространства 1 в другую точку 2. Это движение может происходить по разным траекториям, например, по траекториям I и II. Если работа, совершаемая силами поля при перемещении тела, не зависит от траектории, а зависит лишь от начального и конечного положений тела, то такие силы называются консервативными : В противном случае силы являются неконсервативными (например, силы трения). Рассмотрим движение тела в стационарном поле из одной точки пространства 1 в другую точку 2. Это движение может происходить по разным траекториям, например, по траекториям I и II. Если работа, совершаемая силами поля при перемещении тела, не зависит от траектории, а зависит лишь от начального и конечного положений тела, то такие силы называются консервативными : В противном случае силы являются неконсервативными (например, силы трения).

Покажем, что работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю. Для доказательства учтем, что при изменении направления движения смещение меняет свой знак, поэтому меняет знак и работа силы. Например, для участка пути II имеем Поэтому работа на замкнутой траектории от точки 1 по пути I через точку 2 и снова к точке 1 по пути II будет равна Покажем, что работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю. Для доказательства учтем, что при изменении направления движения смещение меняет свой знак, поэтому меняет знак и работа силы. Например, для участка пути II имеем Поэтому работа на замкнутой траектории от точки 1 по пути I через точку 2 и снова к точке 1 по пути II будет равна

Покажем, что сила тяжести является консервативной силой. Сила тяжести, действующая на тело массы m, равна где - ускорение свободного падения. Рассмотрим работу этой силы на участке между двумя произвольными точками 1 и 2 при перемещении тела вдоль некоторого пути, c вектором перемещения h 1 и h 2 – высота тела над уровнем моря в начальной и конечной точках. Покажем, что сила тяжести является консервативной силой. Сила тяжести, действующая на тело массы m, равна где - ускорение свободного падения. Рассмотрим работу этой силы на участке между двумя произвольными точками 1 и 2 при перемещении тела вдоль некоторого пути, c вектором перемещения h 1 и h 2 – высота тела над уровнем моря в начальной и конечной точках.

Работа силы тяжести на пути из точки 1 в точку 2 равна где - модуль силы тяжести. Величина - есть проекция вектора перемещения на направление силы тяжести. Как следует из рисунка она равна разности высот Работа силы тяжести на пути из точки 1 в точку 2 равна где - модуль силы тяжести. Величина - есть проекция вектора перемещения на направление силы тяжести. Как следует из рисунка она равна разности высот

В результате работа силы тяжести равна (4.2.1) Как видим, выражение (4.2.1) не зависит от формы кривой траектории. Тело может прийти из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории – работа во всех случаях будет одной и той же. В результате работа силы тяжести равна (4.2.1) Как видим, выражение (4.2.1) не зависит от формы кривой траектории. Тело может прийти из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории – работа во всех случаях будет одной и той же.

Такой же результат получается для любого стационарного, однородного поля, силы которого во всех точках траектории одинаковы по модулю и направлению Консервативными являются также и силы центрального поля, направленные в сторону силового центра (заряд, массу) и имеющие величину, зависящую только от расстояния до центра. Всем 4 типам фундаментальных взаимодействий отвечают консервативные силы. Такой же результат получается для любого стационарного, однородного поля, силы которого во всех точках траектории одинаковы по модулю и направлению Консервативными являются также и силы центрального поля, направленные в сторону силового центра (заряд, массу) и имеющие величину, зависящую только от расстояния до центра. Всем 4 типам фундаментальных взаимодействий отвечают консервативные силы.

Каждой точке поля консервативных сил можно сопоставить некоторую функцию, разность значений которой в точках 1 и 2 равна работе этих сил при перемещении тела (4.2.2) Функцию называют потенциальной энергией тела в поле консервативных сил. Согласно (4.2.2) работа, совершаемая консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии тела. Поэтому потенциальная энергия представляет собой запасенную телом энергию, которая расходуется при совершении работы.В частности, для сил тяготения из (4.2.1) следует (4.2.1а) Каждой точке поля консервативных сил можно сопоставить некоторую функцию, разность значений которой в точках 1 и 2 равна работе этих сил при перемещении тела (4.2.2) Функцию называют потенциальной энергией тела в поле консервативных сил. Согласно (4.2.2) работа, совершаемая консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии тела. Поэтому потенциальная энергия представляет собой запасенную телом энергию, которая расходуется при совершении работы.В частности, для сил тяготения из (4.2.1) следует (4.2.1а)

4.3 Закон сохранения энергии Согласно (4.1.6) работа силы, действующей на тело на участке пути 1-2, идет на приращение его кинетической энергии Если силы консервативные, то их работа на том же участке пути согласно (4.2.2) равна убыли потенциальной энергии тела Приравнивая получаем или (4.3.1) 4.3 Закон сохранения энергии Согласно (4.1.6) работа силы, действующей на тело на участке пути 1-2, идет на приращение его кинетической энергии Если силы консервативные, то их работа на том же участке пути согласно (4.2.2) равна убыли потенциальной энергии тела Приравнивая получаем или (4.3.1)

Значит величина, равная сумме потенциальной и кинетической энергии (4.3.2) сохраняет свое значение при движении тела, движущегося в поле консервативных сил. Величину Е называют полной механической энергией тела. Значит величина, равная сумме потенциальной и кинетической энергии (4.3.2) сохраняет свое значение при движении тела, движущегося в поле консервативных сил. Величину Е называют полной механической энергией тела.

Формула (4.3.1) выражает собой закон сохранения энергии. Нетер показала, что данный закон связан с однородностью времени, которая проявляется в независимости физических законов от выбора начала отсчета времени. Закон сохранения энергии говорит, что энергия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой - потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот. В этом законе проявляется неуничтожимость материи и ее движения. Формула (4.3.1) выражает собой закон сохранения энергии. Нетер показала, что данный закон связан с однородностью времени, которая проявляется в независимости физических законов от выбора начала отсчета времени. Закон сохранения энергии говорит, что энергия не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой - потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот. В этом законе проявляется неуничтожимость материи и ее движения.

4.4 Связь между силой и потенциальной энергией Зная потенциальную энергию можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Для установления этой связи рассмотрим движение частицы в направлении оси х. Работа сил поля по перемещению частицы на расстояние dx равна С другой стороны, согласно (4.2.2), эта же работа равна убыли потенциальной энергии dA = -dU Поэтому 4.4 Связь между силой и потенциальной энергией Зная потенциальную энергию можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Для установления этой связи рассмотрим движение частицы в направлении оси х. Работа сил поля по перемещению частицы на расстояние dx равна С другой стороны, согласно (4.2.2), эта же работа равна убыли потенциальной энергии dA = -dU Поэтому

Последнее равенство можно записать в виде Таким образом проекция силы на ось х равна первой производной от потенциальной энергии по координате х. При выводе предполагалось, что другие координаты частицы не меняются у = const, z = const. Производная по х, вычисленная при таких условиях, называется частной производной и обозначается как (4.4.1а) Последнее равенство можно записать в виде Таким образом проекция силы на ось х равна первой производной от потенциальной энергии по координате х. При выводе предполагалось, что другие координаты частицы не меняются у = const, z = const. Производная по х, вычисленная при таких условиях, называется частной производной и обозначается как (4.4.1а)

Аналогично определяются проекции силы на оси у и z (4.4.1b) (4.4.1c) Запишем силу в векторном виде Аналогично определяются проекции силы на оси у и z (4.4.1b) (4.4.1c) Запишем силу в векторном виде

Подставим найденные проекции (4.4.1а c) в вектор силы где - векторный дифференциальный оператор, называемый оператором градиента (оператор набла). Подставим найденные проекции (4.4.1а c) в вектор силы где - векторный дифференциальный оператор, называемый оператором градиента (оператор набла).

Таким образом силу можно представить в виде (4.4.2) а элементарную работу Поскольку dA = -dU, то приращение потенциальной энергии равно (4.4.3) Таким образом силу можно представить в виде (4.4.2) а элементарную работу Поскольку dA = -dU, то приращение потенциальной энергии равно (4.4.3)

Выражение (4.4.3) является полным дифференциалом потенциальной энергии. Известно, что полный дифференциал зависит лишь от значений функции в начальной и конечной точках и не зависит от пути, по которому происходит переход из точки в точку. Это согласуется с потенциальным характером силового поля. Выражение (4.4.3) является полным дифференциалом потенциальной энергии. Известно, что полный дифференциал зависит лишь от значений функции в начальной и конечной точках и не зависит от пути, по которому происходит переход из точки в точку. Это согласуется с потенциальным характером силового поля.

Покажем, что потенциальная энергия определена не однозначно. Действительно, добавление к ней любой постоянной величины U 0 не меняет значения работы и силы поля Поэтому отсчет потенциальной энергии можно выбирать произвольно, это никак не проявляется в механических свойствах системы. Покажем, что потенциальная энергия определена не однозначно. Действительно, добавление к ней любой постоянной величины U 0 не меняет значения работы и силы поля Поэтому отсчет потенциальной энергии можно выбирать произвольно, это никак не проявляется в механических свойствах системы.

Примеры расчета сил по заданной потенциальной энергии 1)Поле сил тяжести Согласно (4.2.1а) потенциальная энергия тела на высоте h от уровня Земли равна U = mgh Поэтому сила тяжести, действующая на тело на высоте h, равна Примеры расчета сил по заданной потенциальной энергии 1)Поле сил тяжести Согласно (4.2.1а) потенциальная энергия тела на высоте h от уровня Земли равна U = mgh Поэтому сила тяжести, действующая на тело на высоте h, равна

2) Кулоновское поле Потенциальная энергия заряда Q 1 в поле заряда Q 2 равна U = Q 1 Q 2 /(4 0 r) Найдем силу, действующую между зарядами 2) Кулоновское поле Потенциальная энергия заряда Q 1 в поле заряда Q 2 равна U = Q 1 Q 2 /(4 0 r) Найдем силу, действующую между зарядами

3) Упругая пружина Потенциальная энергия пружины U = kx 2 /2 k – жесткость пружины x - удлинение пружины Поэтому сила упругости, действующая на тело прикрепленное к пружине, равна F x = -dU/dx = -kx 3) Упругая пружина Потенциальная энергия пружины U = kx 2 /2 k – жесткость пружины x - удлинение пружины Поэтому сила упругости, действующая на тело прикрепленное к пружине, равна F x = -dU/dx = -kx