Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Предел функции по Гейне Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть и не определена. Определение. Вещественное число А называется пределом функции f(x) при х x 0, если для любой последовательности x n значений аргумента, стремящейся к x 0 соответствующая последовательность значений функции f(x n ) сходиться к А. При этом предполагается, что последовательность x n D(f) и..

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Свойства пределов 1.Если предел функции f(x) при х x 0 существует, то он единственный. 2.Если функция f(x) при х x 0 имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки x Теорема. Функция имеет предел тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму постоянной, равной этому пределу и бесконечно малой величины.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Свойства пределов 4.Если функции f(x) и g(x) имеют предел при х x 0, то их сумма, разность, произведение и частное имеют предел при х x 0, причем a) ; b) ; c) d)Если функция f(x) имеет предел при х x 0, то произведение с*f(x) имеет предел при х x 0, с – константа, причем. 5.Пусть и существует проколотая окрестность U*(x 0, ) такая, что f(x) > 0 x U*(x 0, ), тогда А 0.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Свойства пределов 6.Пусть и пусть и f(x) < g(x) x U*(x 0, ) (или f(x) g(x)), тогда А B. 7.Пусть x U*(x 0, ) выполняется f(x) g(x) (x). Если существует и существует, причем, то существует и. 8.Свойство о пределе композиции функций. Пусть и существуют тогда g(f(x))=g f имеет предел при х x 0, причем.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Свойства б.м. функции 1.Сумма, разность, произведение двух б.м. при x x 0 есть функция б.м. при x x 0. 2.Пусть (x) - б.м. при x x 0, f(x) – ограниченна в U*( x 0, ), тогда (x) f(x) – б.м. при x x 0. 3.Если (x) - б.м. при x x 0, то с (x) - б.м. при x x 0, с-константа. 4.Если функция у = f(x) – б.м. при x x 0 и f(x) 0 в некоторой окрестности точки x 0, то функция y=1/f(x) – б.б. при x x 0. Если функция у = f(x) - б.б. при x x 0, и f(x) 0 в некоторой окрестности точки x 0, то функция y = 1/f(x) – б.м. при x x 0.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Односторонние пределы Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х x 0 слева, если для любого >0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х 0 – x < выполняется неравенство |f(x) – А|0 существует такое >0, что для всех х, отвечающих условию 0 < х – x 0 < выполняется неравенство |f(x) – А|

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Односторонние пределы Теорема. (О существовании конечного предела.) Пусть x 0 R. Функция f(x) имеет конечный предел при х x 0 тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные между собой пределы = =A, при этом. Замечание 1. Все свойства пределов остаются верными и в случае односторонних пределов. Замечание 2. Определение одностороннего предела на языке последовательностей дается также как и определение предела при х x 0 с той лишь разницей, что для последовательности {x n} должно выполняться условие x n x 0 для предела справа.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Замечательные пределы Теорема 3. Предел отношения sin x к своему аргументу x равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т. е. – 1 замечательный предел. (или ) – 2 замечательный предел. Следствия: 1), 2), 3).

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Сравнение бесконечно малых Пусть (x), (x) – б.м. при x x 0, где x 0 – конечно или б.б. Определение. Если, то говорят, что (x) б.м. более высокого порядка, чем (x) при х x 0, или что (x) - б.м. низшего порядка относительно (x). Обозначение: (x) =о( (x)). Определение. Если, где с = const 0, то (x) и (x) называют б.м. одного порядка. В частности, если, то (x) и (x) называются эквивалентными. Обозначение: (x) ~ (x). Определение. Б.м. (x) называется бесконечно малой порядка k относительно б.м. (x), если, где с = const 0.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Теорема 1. (О замене б.м. на эквивалентную.) Если (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x) и, то, т.е. предел отношения б.м. не меняется при замене их эквивалентными бесконечно малыми:

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Таблица эквивалентностей Пусть (х) 0 при x x 0. Тогда при x x 0 ~ sin (х) ~ (х)ln (1 + (х)) ~ (х) arcsin (x) ~ (х)log a (1 + (х)) ~ (х)1/ l n a tg (х) ~ (х)e (х) - 1 ~ (х) arctg (х) ~ (х)a (х) - 1 ~ (х) 1n а 1 - cos (х) ~ 2 (х)/2 ~

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Теорема 2. Если (x) и (x) - б.м. при x x 0, причем (x) - б.м. более высокого порядка, чем (x), тогда (х) = (x) + (x) б.м. того же порядка что и (x). Замечание 1. Аналогично б.м. можно сравнивать и б.б., а именно если f(x) и (x)-б.б. при x x 0 и f(x) б.б. более высокого порядка, чем (x); f(x) б.б. более низкого порядка, чем (x); f(x) и (x) эквивалентные б.б. при x x 0. Замечание 2. Теоремы 1 и 2 для б.б. функций остаются верными с той лишь разницей, что главной частью б.б. функции является б.б. более высокого порядка.

LOGO Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Спасибо за внимание