Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Определение. Касательной плоскостью Т к поверхности S в точке M 0 называется плоскость, содержащая касательные ко всевозможным кривым, принадлежащим поверхности S и проходящим через точку M 0. Определение. Нормальной прямой N к поверхности S в точке M 0 называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке M 0.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 2 Производные сложных функций Теорема 1. (1-я композиция) Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t 0 (, ), а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0,y 0 ) D, где x 0 =x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ), то сложная функция z = f(x(t),y(t)) дифференцируема в точке t 0 и в этой точке Теорема 2. (2-я композиция) Пусть функции x = x(u, v) и y= y(u, v) дифференцируемы в точке (u 0, v 0 ) и, следовательно, имеют в этой точке частные производные x u, x v, y u, y v, а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x 0,y 0 ), где x 0 = x(u 0, v 0 ), y 0 = y(u 0, v 0 ). Тогда в точке (u 0, v 0 ) существуют и частные производные z u, z v сложной функции z = f(x(u, v), y(u, v)) и

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 3 Инвариантность формы первого дифференциала Теорема 3. Если функция z = f(x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2, то Т.е. форма записи полного дифференциала функции z = f(x, y) двух (и более) переменных не зависит от того, является ли x и y независимыми переменными, или функциями других независимых переменных.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 4 Неявные функции Определение. Если уравнение f(x, y) = 0 имеет единственное решение y = y(x), то говорят, что уравнение f(x, y) = 0 на множестве Х определяет неявную функцию y = y(x). Теорема 4. (Существования, единственности и дифференцируемости неявной функции одного аргумента). Пусть 1) функция F(x, y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки M 0 (x 0, y 0 ); 2) F (x 0, y 0 ) = 0; 3) F y (x 0, y 0 ) 0. Тогда найдётся такая окрестность U(x 0, ) точки x 0, в пределах которой существует единственная неявная функция y = f(x), определяемая уравнением F(x, y) = 0, такая, что а) y 0 = f(x 0 ),; б) y = f(x) - непрерывна вместе со своей производной, причём

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 5 Скалярное поле Определение. Если каждой точке М некоторой области G поставлено в соответствие число u, то говорят, что в области G задано скалярное поле u = u(M). Определение. Поверхность (линия), в точках которой поле принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля. Определение. Производной скалярного поля u(M) в точке M 0 по направлению называется число Обозначение.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 6 Производная по направлению Теорема. (О вычислении производной по направлению) Если и u = u(M) дифференцируема в точке M 0, то Физический смысл производной по направлению: скорость изменения функции (определяющей скалярное поле) в данном направлении l.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 7 Градиент Определение. Градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) в точке M 0 называется вектор. 1. Градиент в данной точке M 0 связан с производной по направлению формулой. 2. Градиент в данной точке M 0 указывает направление наискорейшего изменения поля в этой точке, а есть наибольшая скорость изменения поля в точке M 0 если направление совпадает с (иначе наименьшее значение). 3. Градиент в точке M 0 направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку M 0. Производная по направлению вектора, касательного к поверхности уровня равна нулю.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 8 Производные высших порядков Определение. Частная производная n-го порядка есть первая производная от производной (n - 1)-го порядка. Теорема. (о равенстве смешанных частных производных) Пусть у функции u = f(x 1, x 2,…, x n ) существуют все смешанные производные до k-го порядка включительно, и они непрерывны. Тогда значения всех производных до k-го порядка включительно не зависят от того, в каком порядке производится их вычисление. Определение. Вторым дифференциалом (полным дифференциалом второго порядка) функции z = f(x, y) в точке М(х, у) называется дифференциал от дифференциала 1-го порядка.

LOGO Спасибо за внимание