§4. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ферма). Пусть функция y = f(x) определена на (a; b) и в точке (a; b) принимает ниабольшее или наименьшее значения. Тогда, если существует f ( ), то f ( ) = 0.

ТЕОРЕМА 2 (Ролля). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Если f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что f ( ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Ролля.

Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox. самостоятельно ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – ТЕОРЕМА 3 (Лагранжа). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. Следовательно, если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей AB. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде f(b) – f(a) = f ( ) (b – a).(3) Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Функция f(x) принимает на [a; b] постоянное значение C f (x) = 0, x (a; b). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 4 (Коши). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b), причем (x) 0, x (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§5. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0 ̄ и выполняются следующие условия: 1)функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x 0, ), причем (x) 0, x U*(x 0, ). Тогда, если (конечный или бесконечный), топричем эти два предела будут равны. Т.е.

Замечания. 1) Если f (x) и (x) тоже являются б.м. (б.б.) при x x 0, то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

§10. Формула Тейлора Пусть y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x 0. Тогда f(x 0 ) = f (x 0 ) x + ( x), где ( x) – б.м. более высокого порядка чем x. Пусть Тогда f(x 0 ) = f (x 0 ) x + 1 x, где 1 ( x) – бесконечно малая при x 0. f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x + 1 x.(1) Обозначим x 0 + x = x, x = x – x 0 и формула (1) примет вид: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x – x 0 ) + 1 (x – x 0 ),(2) где 1 (x) – бесконечно малая при x x 0.

Если y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то применим n раз формулу (2) к функции i и получим (3): где n (x) – бесконечно малая при x x 0. Формулу (3) называют формулой Тейлора разложения функ- ции f(x) по степеням (x – x 0 ) (в окрестности точки x 0 ). Слагаемое называют многочленом Тейлора функции f(x) по степеням (x – x 0 ). Слагаемое R n = n (x – x 0 ) n называют остаточным членом формулы Тейлора.

Остаточный член R n можно записать в нескольких формах: 1) R n = n (x – x 0 ) n = o((x – x 0 ) n ) – форма Пеано; 2) если y = f(x) n + 1 раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то R n можно записать в форме Лагранжа : где c – точка между x 0 и x. Если в формуле Тейлора x 0 = 0, то она примет вид (4): Формулу (4) называют формулой Маклорена. Применение формулы Маклорена (Тейлора): 1)в приближенных вычислениях (значений функций, опреде- ленных интегралов и т.п.); 2) при нахождении пределов.