Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (бесконечно большие последовательности и их свойства, теорема Вейерштрасса)

3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {x n } называется бесконечно большой, если M>0 N такое, что | x n | >M, n>N. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Расширим множество. I способ. Дополним множество элементами, обозначаемыми + и – (называют: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность») При этом справедливо: – < r < +, r. II способ. Дополним множество элементом, обозначаемыми (называют: «бесконечность») При этом не связана с действительными числами отношением порядка.

Множество { –, + } и { } называют расширенным множеством действительных чисел (способ расширения всегда понятен из контекста). Обозначают: ̄. Элементы –, +, называют бесконечно удаленными точками числовой прямой. -окрестностью точек –, +, считают следующие множества: U(+, ) = { x | x > 1/ } U(–, ) = { x | x < –1/ } U(, ) = { x | | x | > 1/ } !

Если {x n } – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация бесконечно большой последовательности). Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к ».

Частные случаи бесконечно больших последовательностей: 1) {x n } – бесконечно большая и x n 0, n. Тогда | x n | = x n >M, n>N x n U(+, ) Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к + ». 2) { x n } – бесконечно большая и x n 0, n. Тогда | x n | = – x n > M, n>N x n < – M, n>N x n U(–, ) Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к – ».

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 1) Если {x n } – б.б., то последовательность {1/x n } – б.м. Если последовательность { n } – б.м, то {1/ n } – б.б. (связь бесконечно больших и бесконечно малых) 2)Если {x n } и {y n } – б.б. последовательности одного знака, то их сумма { x n + y n } – б.б. того же знака. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО самостоятельно 3) Если {x n } – б.б., а {y n } – ограниченна, то их сумма {x n + y n } – б.б. последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

4 ) Если {x n } и {y n } – б.б., то их произведение {x n y n } – б.б. последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 5) Если {x n } – б.б., {y n } – сходящаяся, причем то их произведение {x n y n } – б.б. последовательность.

7) Если последовательность {x n } – б.б. и для любого n имеет место неравенство | x n | < | y n | (| x n | | y n |), то последовательность {y n } тоже является б.б. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 8) Пусть {x n } и {y n } – б.б. одного знака и для любого n имеет место неравенство x n z n y n. Тогда последовательность {z n } тоже является б.б. того же знака. (лемма о двух милиционерах для б.б. последовательностей) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

4. Теорема Вейерштрасса. Число e Пусть X. Число b (a ) называется верхней (нижней) границей множества X если b x (a x), x X. Если b является верхней границей множества X, то b 1 b тоже является его верхней границей. Если a является нижней границей множества X, то a 1 a тоже является его нижней границей. Наименьшая верхняя граница множества X называется его точной верхней границей (супремумом). Обозначают: supX Наибольшая нижняя граница множества X называется его точной нижней границей (инфимумом). Обозначают: infX

ПРИМЕР. Докажем, что последовательность сходится. Предел последовательности принято обозначать буквой e. Число e – иррациональное. Доказано e 2,