§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Advertisements

Непрерывность функций Лекция 3. Непрерывность Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке, если 1)она определена в этой.
КАКАЯ ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ? Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и её окрестности и.
Точки разрыва функции. Их классификация. Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. Классификация Чисел.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Рассмотрим случаи: а) в) г) б) а b y=f(x) f(a) не сущ-ет =b=b а y=f(x) f(a) сущ-ет предел не сущ-ет y=f(x) а f(a) не сущ-ет предел не сущ-ет y=f(x) f(a)
Определение функции n переменных. Геометрическая интерпретация в случае задания функции двух переменных. Задание функций. Классификация множеств пространства.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные.
Основы высшей математики и математической статистики.
Лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Непрерывность.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Производная функции.
Введение Пределы и непрерывность 1. Определение предела функции. 2. Односторонние пределы. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие. 4. Теоремы о пределах.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ Точки, в которыхнарушается непрерывность функции,называются точками разрыва функции. Если х=х 0 -точка разрыва.
Транксрипт:

§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство Замечания. 1)В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов. 2) Равенство (1) можно также записать в виде: Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0, то знак предела и функцию можно поменять местами».

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке - ). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если >0 >0 такое, что еслиx U(x 0, ) (т.е. | x – x 0 | < ), то f(x) U(f(x 0 ), ) (т.е. | f(x) – f(x 0 ) | < ). Пусть x, x 0 D( f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная) Обозначим: x = x – x 0 – приращение аргумента f(x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) – приращение функции в точке x 0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + ) (на промежутке ( x 0 – ; x 0 ] ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если справедливо равенство Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x 0 f(x) непрерывна в точке x 0 справа и слева. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть X = {x 0 } или X = (a; b) или X = [a; b]. 1)Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных на множестве X функций является функцией непрерывной на X. 2)Если функции f(x) и g(x) непрерывны на X и g(x) 0, x X, то частное f(x)/g(x) – непрерывная на множестве X функция. 3)Пусть f: X Y, : Y Z. Если f(x) непрерывна на X, (x) – непрерывна на Y, то сложная функция (f(x)) непрерывна на X. Свойства 1, 2, 3, следуют из свойств пределов функций.

4) Основные элементарные функции непрерывны всюду в своей области определения. Если функция непрерывна всюду в области определения, то ее называют непрерывной. 5)Элементарные функции непрерывны (следствие свойств 1– 4)

2. Точки разрыва и их классификация ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, но не является непрерывной в этой точке, то f(x) называют разрывной в точке x 0, а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f(x). Замечания. 1)f(x) может быть определена в неполной окрестности точки x 0. Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции. 2)Из определения точка x 0 является точкой разрыва функции f(x) в двух случаях: а) U(x 0, ) D(f), но для f(x) не выполняется равенство б) U * (x 0, ) D(f). Для элементарных функций возможен только случай б).

Пусть x 0 – точка разрыва функции f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f(x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа. Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва, в противном случае – точкой скачка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f(x) в этой точке равен или не существует.

3. Свойства функций, непрерывных на отрезке ТЕОРЕМА 1 (Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда 1) f(x) – ограничена на [a; b] ; 2) f(x) принимает на [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение функции m = f(x 1 ) называется наименьшим, если m f(x), x D(f). Значение функции M = f(x 2 ) называется наибольшим, если M f(x), x D(f). Замечание. Наименьшее (наибольшее) значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

ТЕОРЕМА 2 (Коши, о промежуточных значениях). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и – число, заключенное между f(a) и f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x 0 [a; b] такая, что f(x 0 ) =. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Больцано - Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на (a; b) существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль. СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши и Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].