§5. Производная неявно заданной функции

Чтобы найти производную надо продифференцировать обе части равенствa F(x,y)=0, учитывая, что y=y(x) есть функция аргумента x. Примеры.

§ 6. Производная функции, заданной параметрически Пусть даны две функции от переменной t, заданные уравнениями x = x(t), y = y(t), рассматриваемых для одних и тех же значениях. Всякому значению t соответствуют конкретные значения x, y, тогда рассмотрим точку M(x,y), которая принадлежит области определения функции притом, что t пробегает все значения из области определения функции Получаем, что система уравнений описывает некоторую кривую в плоскости XOY. И это уравнение называется параметрическим уравнением кривой.

Производная к параметрически заданным функциям находится по формуле Примеры 1. x = t, y = t 2 2. x = Rcost, y = Rsint 3. x = a(t-sint) y = a(1-cost)

§ 7 Логарифмическое дифференцирование. Рассмотрим функции u = u(x), v = v(x), дифференцируемы в некоторой точке х. И рассмотрим функцию, которая тоже будет дифференцируемой в этой точке. Прологарифмируем правую и левую часть этой функции. Получаем функцию, Продифференцируем обе части пользуясь теоремой дифференцирования сложной функции Или

§8. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0 ̄ и выполняются следующие условия: 1)функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x 0, ), причем (x) 0, x U*(x 0, ). Тогда, если (конечный или бесконечный), топричем эти два предела будут равны. Т.е.

Замечания. 1) Если f (x) и (x) тоже являются б.м. (б.б.) при x x 0, то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

§9. Формула Тейлора Пусть y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x 0. Тогда f(x 0 ) = f (x 0 ) x + ( x), где ( x) – б.м. более высокого порядка чем x. Пусть Тогда f(x 0 ) = f (x 0 ) x + 1 x, где 1 ( x) – бесконечно малая при x 0. f(x 0 + x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) x + 1 x.(1) Обозначим x 0 + x = x, x = x – x 0 и формула (1) примет вид: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x – x 0 ) + 1 (x – x 0 ),(2) где 1 (x) – бесконечно малая при x x 0.

Если y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то применим n раз формулу (2) к функции i и получим (3): где n (x) – бесконечно малая при x x 0. Формулу (3) называют формулой Тейлора разложения функ- ции f(x) по степеням (x – x 0 ) (в окрестности точки x 0 ). Слагаемое называют многочленом Тейлора функции f(x) по степеням (x – x 0 ). Слагаемое R n = n (x – x 0 ) n называют остаточным членом формулы Тейлора.

Остаточный член R n можно записать в нескольких формах: 1) R n = n (x – x 0 ) n = o((x – x 0 ) n ) – форма Пеано; 2) если y = f(x) n + 1 раз дифференцируема в окрестности точки x 0, то R n можно записать в форме Лагранжа : где c – точка между x 0 и x. Если в формуле Тейлора x 0 = 0, то она примет вид (4): Формулу (4) называют формулой Маклорена. Применение формулы Маклорена (Тейлора): 1)в приближенных вычислениях (значений функций, опреде- ленных интегралов и т.п.); 2) при нахождении пределов.