Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Формула Тейлора порядка n Теорема. Если функция u=f(x 1, x 2, …x n ) n+1 раз диффе- ренцируема в некоторой окрестности точки M 0 (x 1 0, x 2 0, …,x n 0 ), то для любой точки M(x 1, x 2, …,x n ) из этой окрестности справедливо равенство где R n – остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа если и N [M 0, M] ; в форме Пеано если R n = o( n ), где = (M 0, M).

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 2 Экстремум ФНП Определение. Точка M 0 называется точкой локального максимума функции u = f(M), если существует такая окрестность точки M 0, для всех точек которой, отличных от M 0, выполняется неравенство f(M 0 ) > f(M), (рис.1). Аналогично определяется точка локального минимума, f(M 0 ) < f(M), (рис.2). Термины «локальный максимум» и «локальный минимум» объединяют в один термин «локальный экстремум».

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 3 Экстремум ФНП Теорема 1. (Необходимый признак локального экстремума) Если функция u = f(M) имеет экстремум в точке M 0, и в этой точке существует частная производная по x k, то Определение. Точка M 0, в которой все частные производные равны нулю, называется стационарной точкой функции.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 4 Квадратичные формы Определение. Квадратичной формой от n переменных называется функция вида … Краткая запись:

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 5 Квадратичные формы Числа aij – называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица – матрица квадратичной формы. Миноры матрицы А, образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами называются главными (угловыми) минорами матрицы:

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 6 Виды квадратичных форм Квадратичная форма Q(x 1, x 2, …, x n ) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных x 1, x 2, …, x n одновременно не равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения. Квадратичная форма Q(x 1, x 2, …, x n ) называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной. Квадратичная форма Q(x 1, x 2, …, x n ) называется квазизнако- определенной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при x 1 = x 2 = … = x n = 0. Квадратичная форма Q(x 1, x 2, …, x n ) ) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 7 Достаточные условия экстремума Теорема. Пусть функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) дифференцируема в окрестности точки M 0, и дважды дифференцируема в точке M 0, причём M 0 – стационарная точка функции. Тогда, если: 1) d 2 u(M 0 ) – положительно определённая квадратичная форма, то функция u = f(M) имеет минимум в точке M 0 ; 2) d 2 u(M 0 ) – отрицательно определённая квадратичная форма, то функция u = f(M) имеет максимум в точке M 0 ; 3) d 2 u(M 0 ) – знакопеременная квадратичная форма, тогда локальный экстремум в точке M 0 отсутствует; 4) d 2 u(M 0 ) = 0, тогда функция u = f(M) в точке M 0 может как иметь экстремум, так и не иметь.

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 8 Критерий Сильвестра Исследование знака квадратичной формы проводится на основании критерия Сильвестра, а именно: 1) для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы были положительны; (т.е. 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0). 2) для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров её матрицы чередовались следующим образом: 1 0, 3 < 0,…. 3) если матрица А неопределенная, то в точке M 0 функция не имеет локального экстремума (это – так называемая седловая точка).

Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 9 План исследования ФНП 1. Найти стационарные точки, используя необходимое условие локального экстремума (решить систему, в которой частные производные 1-го порядка прировнять к нулю). 2. Найти частные производные 2-го порядка в стационарной точке М Составить матрицу квадратичной формы. 4. Проверить знаки главных миноров: 1, 2, Сделать вывод о наличии точки экстремума. Если в точке М 0 : а) 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, то в точке М 0 – min; б) 1 0, 3 < 0, то в точке М 0 – max; в) знаки i другие, то экстремума нет; г) i = 0, i = 1, 2, …n, и выполняется а) или б), то в т. М 0 требуются доп. исследования.

LOGO Спасибо за внимание