Лекция 2 Тема: Заряд и его свойства, закон Кулона (продолжение) Сегодня: пятница, 6 декабря 2013 г.

8. Интегральная формулировка закона сохранения заряда. jdЅjdЅ s v Изменение заряда в некотором объёме может произойти только в результате втекания и вытекания заряда через замкнутую поверхность S ограничивающую объём (алгебраическая сумма электрически изолированного объема есть величина постоянная. Скорость изменения заряда в объёме. Сила тока через поверхность, ограничивающую объём. Знак минус учитывает, что если + заряд внутри V уменьшается, то плотность тока направлена из объёма. S V

9. Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда. Итак интеграл по поверхности равен интегралу по объему в виде jdЅjdЅ

Запишем данное выражение в виде ( это связь интеграла по поверхности с интегралом по объему, который заключен данной поверхностью ). (1) Здесь дивергенция равна

Сравнивая подинтегральные выражения в формуле (1), видим, что Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме

10. Сохранение заряда в 4-х мерном пространстве Перепишем выражение для дивергенции и плотности тока в виде :

Легко видеть, что изменение плотности заряда во времени можно представить как 4-ую компоненту плотности тока: Окончательно:

Это и есть закон сохранения заряда в дифференциальной форме для 4-х мерного пространства Преобразование из К системы в систему К для одномерного тока j x и плотности заряда ρ в СТО имеет вид:

Закон Кулона. q 1, q 2 – точечные заряды; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость среды ( в вакууме и воздухе = 1 ); ε 0 – диэлектрическая постоянная = 8,85* Ф/м. Принцип суперпозиции: (1) (2) 3

З.К. справедлив м (эксперимент) F 12 F 21 F 12 F 21

l l l r а х 9 На каждый заряд, действуют по 3 силы QF

Сущность модели электростатического поля Важна не неподвижность зарядов, а постоянство во времени электрического поля! Границы применимости – требование малости вклада от отдельных зарядов в наблюдаемое поле. Основная задача электростатики: найти поля, создаваемые «неподвижными» зарядами 2

Детектор поля – точечный заряд. Источником Е- поля является заряд. Для точечного заряда в вакууме (ε =1) (3) (4) 4 Локальная хар-ка + q Er F Вектор Е напряженности электрического поля Формула (4) получена делением силы Кулона на заряд q

Согласно принципу суперпозиции электрическое поле системы зарядов равно векторной сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами

Е1Е Е2Е2 Е3Е3 Силовые линии. Примеры 5 Е Е Е Е Е Е 5

dy σ z А y x Равномерно заряженная плоскость σ L Каждая полоска несёт элементарный заряд dq = σ Ldy 11 Найти напряженность Е электрического поля в точке А на расстоянии z от плоскости. Применить принцип суперпозиции

Справедлив принципы суперпозиции: Вектор электрического смещения (вектор индукции электростатического поля) - D D = εε 0 E Формула для однородной среды. Вектор направлен также как и Е. 6 (5) (6) (7) Для точечного заряда

+ ε >1 + Е Е D D Вектор D не преломляется на границе двух сред. D = εε 0 E (5) 7

Поток вектора ( Е,D) Е n n n α dФ = ЕdS Ф = 0 dФ = ЕdS Cosα Ф = числу силовых линий через единицу площади. Ф = s (ЕdS) dS (10) 13 dS =dS n

dS n Е Е Е Ф через искривлённую поверхность Ф = s (ЕdS) Ф через замкнутую поверхность Поверхность не должна быть морщинистой (11) 1414 Е Е

Теорема Гаусса (закон Гаусса) Закон Гаусса связывает поток через поверхность и заряд. q ndS Е Если между Е или D и n острый угол Ф- положителен, если тупой - Ф отрицателен. 1515

1616 (4) (11) (12) (13) (14) Ф = s (ЕdS) dS Е n dΩdΩ α q ε 0 q

dΩ=4π Если зарядов в объёме V много, то q = q i =q i =q Теорема Гаусса для D 1717 (15) Теорема Гаусса для Е Для док-ва используется принцип суперпозиции!!!!

Если заряд находится вне объёма: D = 0 Вектор D 2 раза входит в объём и 2 раза из него выходит. Если заряд распределен внутри объёма, например, с объёмной плотностью ρ: q = ρdV v q = ρdV = То: v 1818

Физической основой ТОГ является закон Кулона, поэтому теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона. 19

Поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность = сумме зарядов, заключённых в этой поверхности, деленной на ε 0. Аналогично для потока вектора смещения D 20

Применение теоремы Гаусса. По тонкой сферической оболочке радиуса R равномерно распределён заряд q. Определить Е: а) вне сферы, б) внутри сферы. 21 Е R r1r1 r2r σ Е Е n А В С + R r1r1 E n +σ+σ S А В

Вектор Е направлен радиально в силу симметрии Проведем произвольную замкнутую поверхность радиуса r 1 = Е А dS = Е А S = Е А 4πr 1 2 = q/ε R r1r σ Е n А По Т.О.Г. Е С В Е=О

На пов-ти сферы т.к. S задано q = σS с = σ4πR 2 q = S σ dS (*)(*) Из (23) Е А вне сферы = 23 Внутри сферы (точка В) Е равно нулю

R r1r1 r2r2 + + σ Е Е n А В С 0 Е Rr 1/r 2 Поле вне сферы такое же как и от точечного заряда!

Поле Е равномерно заряженной нити с линейной плотностью τ. (EdS) = (EdS бок ) +2 (EdS торц ) = (EdS бок ) = ES = = Е2πаl = q/ε 0 q = l τdl = τl Окончательно имеем: = 0 26 τ А а Е n n dS торц. l dS

Электрическое поле Е бесконечно большой заряженной плоскости Поверхностная плотность зарядов σ Поверхность Гаусса выбираем в виде прямоугольного ящика. В силу бесконечно-большой симметрии плоскости вектор Е в любой точке окружающего пространства направлен по нормали к плоскости Е n n Е S S