Company Logo ДУ с разделяющимися переменными 1. ДУ с разделенными переменными. y' = f( x) или f (x) d x + (y) d y = 0 2. ДУ с разделяющимися переменными. М 1 (x) N 1 (y) d x + М 2 (x) N 2 (y) d y = 0 Разделить на N 1 (y) М 2 (x) 0 Общий интеграл: 2 '. ДУ приводящееся к ДУ с разделяющимися переменными. y' = f( ax + by + c) Замена : z = ax + by + c z ' = b f (z) + a Общий интеграл:

Company Logo Однородные ДУ Определение. Функция M (x, y) называется однородной измерения (степени) m, если при любом t справедливо равенство M (t x, t y) = t m · M (x, y). Определение. Уравнение I-го порядка y' = f (x, y) называется однородным относительно x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения. Определение. ДУ М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 является однородным относительно x и y, если функции M (x, y) и N (x, y) - однородные функции одного и того же измерения.

Company Logo Таблица 3. Однородные ДУ. М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 Замена : y = t x, y ' = t ' x + t или y' = f (y / x ) Замена : t = y / x 4. ДУ приводящееся к однородным., если Замена : 5. ДУ приводящееся к ДУ с разделяющимися переменными., если Замена : z = a 1 x + b 1 y z ' = a 1 + b 1 y '

Company Logo Линейные ДУ первого порядка Определение. ДУ первого порядка, линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным ДУ первого порядка. В общем случае м.б. записано в виде: y' + p (x) y = f( x). Если f (x) = 0, то линейное ДУ называется однородным линейным ДУ. Если f (x) 0, то линейное ДУ называется неоднородным линейным ДУ. 6. Линейные ДУ. 1)Метод Лагранжа (метод вариации постоянной) а) Ищем решение ЛОДУ. б) Полагаем С = С(x). 2) Метод Бернулли (подстановки) Замена : Решаем систему

Company Logo ДУ с разделяющимися переменными 7. Уравнения Бернулли. 1 способ Замена : t = y 1-n, t' = (1 - n) y -n y' y' + p (x) y = f( x) y n 2 способ Метод Бернулли Замена : Решаем систему 8. ДУ в полных дифференциалах М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0

Company Logo ДУ в полных дифференциалах Теорема. (о существовании и единственности решения ДУ в полных дифференциалах) Пусть функции М (x, y) и N (x, y) определены и непрерывны в области D плоскости Oxy и имеют в ней непрерывные частные производные M / y и N / x. Для того, чтобы выражение М (x, y) d x + N (x, y) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции u (x, y) необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие При этом функция u (x, y) может быть найдена по одной из следующих формул или

Company Logo

Company Logo

Company Logo Частные случаи ДУ F (x, y, y')=0 1. ДУ первого порядка степени n где p i = p i (x, y), n N. Если удается разрешить относительно y ' (полагая y' = t), то y' = f 1 (x, y, C), y' = f 2 (x, y, C),…, y' = f k (x, y, C) (k n). Для каждого из уравнений найдем общий интеграл: Ф 1 (x, y, C) = 0, Ф 2 (x, y, C) = 0, …, Ф k (x, y, C) = 0 Общий интеграл ДУ записывается в виде: Ф 1 (x, y, C) · Ф 2 (x, y, C) · … · Ф k (x, y, C) = 0 2. ДУ не содержит явно x и y F (y') = 0. Общий интеграл ДУ записывается в виде:

Company Logo Частные случаи ДУ F (x, y, y')=0 3. ДУ не содержит явно искомой функции y F (x, y') = 0. Замена : Общее решение в параметрическом виде: 4. ДУ не содержит x F (y, y') = 0. Замена : Общее решение в параметрическом виде:

Company Logo

LOGO Спасибо за внимание