Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Определенный интеграл Пусть отрезок [a, b] конечной длины. Функция f (x) определена и непрерывна на этом отрезке. Проведем следующее построение: I.Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом точками a=x 0

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Определенный интеграл Определение. Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a, b] называется предел последовательности интегральных сумм, если этот предел конечен и не зависит от способа разбиения Т и выбора точки i. Обозначение : при этом f(x) называют подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение, a – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; – длина наибольшего из отрезков разбиения. Определение. Если существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь, криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a, x = b, f (x) 0 [a,b].

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Физический и механический смысл ОИ 1.Путь пройденный точкой от момента времени t 0 до T: где v (t) – скорость неравномерного прямолинейного движения, t 0 –начало движения, T – конец движения. 2.Масса неоднородного стержня с плотностью (x): где (x) – плотность стержня, a – координаты начала, b – координаты конца стержня. 3.Работа переменной силы, действующей в направлении оси Ox: где F (x) – переменная сила, действующая на точку, a и b – начало и конец перемещения точки. 4.Количество прореагировавшего вещества: где q (t) – скорость химической реакции, t 1 и t 2 – время начала и окончания химической реакции.

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Суммы Дарбу Пусть и - есть наименьшее и наибольшее значения функции на i-м кусочке. Суммы и носят название нижней и верхней сумм Дарбу. Геометрический смысл суммы Дарбу

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Свойства сумм Дарбу 1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые, то s может только увеличиться, а S – только уменьшиться. 2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, даже если они принадлежат различным разбиениям отрезка [a, b] на кусочки. Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Классы интегрируемых функций Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке. Теорема 3. Если функция монотонна и ограничена на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Свойства интегрируемых функций 1. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то функция сf(x) также интегрируема на [a, b]. 2. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то функция |f(x)| также интегрируема на [a, b]. 3. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то f(x) g(x) функция также интегрируема на [a, b]. 4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то f(x) g(x) функция также интегрируема на [a, b]. 5. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то она интегрируема на любой части этого промежутка. 6. Если [a, b] – отрезок и функция f(x) интегрируема на каждой части отрезка, то она интегрируема и на [a, b].

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Основные свойства ОИ Если a < c < b, то. 6.Если f (x) 0 [a,b], a < b, то.

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Основные свойства ОИ 7.Если a < b [a,b] и f (x) (x), то. 8.Если a < b, то. 9.Оценка определенного интеграла. Пусть функция f (x) интегрируема на [a,b] и существуют конечные m и M такие, что m f (x) M, тогда 10.Теорема о среднем. Пусть функция f (x) непрерывна на [a,b]. Тогда существует с [a,b] такая, что.

Бер Л.М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 191 от Спасибо за внимание