Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Применение определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла

II) Плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями Пусть кривая () не имеет самопересечений и задана пара- метрическими уравнениями: где (t), (t) – непрерывно дифференцируемые на [ ; ]. ЗАДАЧА. Найти длину кривой ( ). РЕШЕНИЕ Разобьем [ ; ] на n частей точками t 0 =, t 1, t 2, …, t n = (где t 0 < t 1 < t 2 < … < t n ) ( ) разобьется на части ( 1 ),( 2 ),…,( n ) точками M 0, M 1, … M n = i, где i – длина ( i )

Рассмотрим дугу ( i ). Если ( i ) мала, то гдеΔx i = (t i ) – (t i–1 ), Δy i = (t i ) – (t i–1 ). По теореме Лагранжа Δx i = (t i ) – (t i–1 ) = ( i ) Δt i, Δy i = (t i ) – (t i–1 ) = ( i ) Δt i где Δt i = t i – t i–1 > 0, i, i – точки между t i–1 и t i.

Рассмотрим и Доказано, что где (1)

III) Плоская кривая в полярных координатах Пусть r = r( ) – непрерывно дифференцируема на [ ; ]. ЗАДАЧА: найти длину кривой r = r( ), где [ ; ]. РЕШЕНИЕ. Имеем: x = r cos, y = r sin п араметрические уравнения кривой x = r( ) cos, y = r( ) sin. Тогдаx = r cos – r sin, y = r sin + r cos ( x ) 2 + (y ) 2 = r 2 + (r ) 2. Следовательно, по формуле (1), получаем:

3. Вычисление объема тела I) По площадям параллельных сечений Пусть (V) – замкнутое и ограниченная область в Oxyz (тело). Пусть S(x) (a x b) – площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox. Тогда объем тела (V) :

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Разобьем [a;b] на n частей точками x 0 = a, x 1, x 2, …, x n = b (где x 0 < x 1 < x 2 < … < x n ) Плоскости x = x 0, x = x 1, x = x 2, …, x = x n разобьют (V) на части(V 1 ), (V 2 ), …, (V n ) V = V i, где V i – объем (V i ). 2) Рассмотрим (V i ).

Выберем i [x i–1 ; x i ] Построим цилиндр с направляющей ( i ). Его объем: S( i ) Δx i, где Δx i = x i – x i–1 – длина [x i–1 ; x i ]. Если Δx i – мала, то V i S( i ) Δx i и V S( i ) Δx i. Следовательно,, где

II) Объем тела вращения Пусть (V) – тело, которое получается в результате вращения вокруг Ox криволинейной трапеции с основанием [a;b], ограниченной y = f(x). Объем этого тела

Пусть (V) – тело, полученное в результате вращения вокруг Ox области (σ), ограниченной линиями x = a, x = b, y = f 1 (x), y = f 2 (x), где 0 f 1 (x) f 2 (x), x [a;b]. Объем этого тела

4. Физические приложения определенного интеграла I) Пройденный путь Пусть точка движется вдоль некоторой кривой со скоростью v(t) Тогда путь S, пройденный точкой за время [T 1 ; T 2 ], равен II) Масса отрезка Пусть (x) – плотность распределения массы на отрезке [a;b]. Тогда масса отрезка равна

III) Работа переменной силы Пусть под действием силы F ̄ тело движется вдоль оси Ox из точки x 1 = a в точку x 2 = b. Если F = F(x) и F ̄ Ox, то работа силы равна Таким образом, с помощью определенного интеграла находятся физические и геометрические величины, которые обладают свойством аддитивности (т.е. при разбиении [a;b] на части, величина, соответствующая отрезку [a;b], складывается из величин, соответствующих его частям).

§4. Приближенное вычисление определенных интегралов Пусть y = f(x) – непрерывна на [a;b] и ее первообразная не является элементарной. Требуется найти 1. Формула прямоугольников Разобьем [a;b] на n равных отрезков длины h точками x 0 = a, x 1, x 2, …, x n = b (где x 0 < x 1 < x 2 < … < x n ). Пусть y i = f(x i ) (i = 0,1,2,…,n). Составим суммы S n = y 0 h + y 1 h + y 2 h + … + y n–1 h, S̃ n = y 1 h + y 2 h + y 3 h + … + y n h, где – длина отрезков [x i–1 ; x i ] (i = 1,2,…,n).

S n и S̃ n – интегральные суммы для f(x) на отрезке [a;b]. (1) (2) Пусть R n – модуль разности между точным значением определенного интеграла и его приближенным значением. Тогда где Формулы (1) и (2) называются формулами прямоугольников.

Если f(x) 0 x [a;b], то с геометрической точки зрения (1) и (2) означают, что площадь соответствующей криволинейной трапеции заменяется площадью области, составленной из прямоугольников (области (σ 1 ) и (σ 2 ) соответственно).

2. Формула трапеций Разобьем [a;b] на n равных отрезков длины h точками x 0 = a, x 1, x 2, …, x n = b (где x 0 < x 1 < x 2 < … < x n ). Пусть y i = f(x i ) (i = 0,1,2,…,n). Тогда (3) где – длина отрезков [x i–1 ; x i ] (i = 1,2,…,n). Для формулы (3) где

Формула (3) называются формулой трапеций. Если f(x) 0 x [a;b], то с геометрической точки зрения (3) означает, что площадь соответствующей криволинейной трапеции заменяется площадью области, составленной из трапеций.