Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (степенные ряды, ряды Лорана) Лектор Пахомова Е.Г г.

Степенным комплексным рядом называется функциональный ряд вида a 0 + a 1 (z–z 0 ) + a 2 (z–z 0 ) 2 + … + a n (z – z 0 ) n + … =, где a n,z 0. Числа a n называются коэффициентами степенного ряда. Частный случай комплексного степенного ряда – ряд по степеням z : a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + … + a n z n + … =. Будем изучать ряд a n z n, т.к. результаты на общий случай переносятся заменой z = z – z Степенные ряды

Степенной ряд a n z n сходится хотя бы в одной точке (точке z = 0). ТЕОРЕМА 6 (Абеля для комплексных степенных рядов). 1) Если степенной ряд a n z n сходится в точке z 1 0, то он сходится абсолютно в любой точке z, удовлетворяющей условию | z | < | z 1 | ; 2) Если степенной ряд a n z n расходится в точке z 2, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей условию | z | > | z 2 |. Из теоремы 6 R>0 такое, что ряд a n z n сходится (абсолютно) при | z | < R и расходится при | z | > R. Число R называют радиусом сходимости ряда a n z n, круг | z | < R называют кругом сходимости ряда a n z n.

Применяя признак Даламбера (Коши) к исследованию ряда | a n z n | находим:, где Замечания. 1)Формулы (2) справедливы, если ряд a n z n – «полный» (т.е. присутствуют все степени z ). 2)Допускается R = 0 (ряд сходится только в точке 0) и R = + (ряд сходится на всей комплексной плоскости) 3)Для ряда a n (z – z 0 ) n круг сходимости имеет вид: | z – z 0 | < R. Если ряд a n (z – z 0 ) n – «полный», то формулы (2) для него тоже справедливы.

СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1)Степенной ряд сходится равномерно в любом замкнутом круге, целиком лежащем в круге сходимости. 2) Сумма степенного ряда является функцией аналитической. 3)Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз. Получающиеся при этом ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный. 4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кривой, лежащей в его круге сходимости.

4. Разложение фкп в степенной ряд Напомним: говорят, что функция f(x) разложима в ряд, если функциональный ряд f n (x), суммой которого является f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(z) – аналитическая в окрестности точки z 0. Рядом Тейлора функции f(z) в окрестности точ- ки z 0 (по степеням z – z 0 ) называется степенной ряд вида ТЕОРЕМА 7 (о разложении фкп в степенной ряд). Если функция f(z) аналитична в круге | z – z 0 | < R 1 (где R 1 R, R – радиус сходимости ряда Тейлора функции f(z)), то она разлагается в этом круге в степенной ряд, причем этот ряд – ее ряд Тейлора, т.е.

Разложения, полученные ранее для функций остаются справедливыми и в комплексном случае.

5. Ряд Лорана ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд вида называется рядом Лорана (по степеням z – z 0, в окрестнос- ти точки z 0 ). Ряд называется правильной частью ряда Лорана, Ряд называется главной частью ряда Лорана.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, ряд Лорана сходится в кольце r < | z – z 0 | < R, где, Замечания. 1)Формулы (4) справедливы, если ряд Лорана – «полный» (т.е. присутствуют все степени z – z 0 ). 2)Допускается r = 0 (ряд сходится в проколотой окрестности точки z 0 ) и R = + (ряд сходится во внешности круга |z – z 0 | < r). 3)Если r R, то ряд Лорана расходится на всей комплексной плоскости.

Из свойств функциональных рядов ТЕОРЕМА 8 (о сумме ряда Лорана). Сумма ряда Лорана аналитична в кольце его сходимости. ТЕОРЕМА 9 (о разложении функции в ряд Лорана). Всякая функция f(z), аналитическая в кольце r < | z – z 0 | < R, может быть представлена в этом кольце в виде суммы ряда Лорана где, C – любая окружность с центром в точке z 0, лежащая в кольце r < | z – z 0 | < R. Ряд Лорана, о котором идет речь в теореме 9, называется рядом Лорана функции f(z) в окрестности точки z 0 (по степе- ням z – z 0 ).