Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Advertisements

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых 1 и 2 имеют вид:
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лектор Ефремова О.Н г. Тема: Плоскость.
§ 3. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), перпендикулярно.
Урок1 Прямая на плоскости.. Виды уравнений прямой на плоскости. Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений. 1. Прямая на.
Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между.
Тема 5 «Прямая на плоскости» Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика» Вывод общего уравнения прямой.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Плоскость и прямая в пространстве Лекция 10. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих.
Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
§ 4. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 – уравнения любых двух различных.
Элементы аналитической геометрии. 9 класс.. р Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, ей параллельной.
3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют.
Аналитическая геометрия Лекции 8,9. Прямая на плоскости.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лектор Ефремова О.Н г. Тема: Прямая в пространстве.
Общее уравнение прямой В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет.
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. §1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть имеется прямоугольная система координат.
Транксрипт:

Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, (1) где F(x,y) – многочлен степени n. Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,(2) где F(x,y,z) – многочлен степени n. Линией в пространстве называют пересечение двух поверхностей. Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии на плоскости и поверхности соответственно. Степень многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии (поверхности).

§ 13. Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), перпендикулярно вектору

ВЫВОДЫ: 1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где A,B,C – числа. 2) Коэффициенты A и B не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным. 1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B – нулевой, а C 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+C = 0 или By+C = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = a и y = b. 4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = 0 (уравнения координатной оси Oy) и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

Замечание. Пусть прямая не проходит через O(0;0). Тогда уравнение можно записать в виде cosα·x + cosβ·y + C = 0, где C = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения прямой называется нормальным уравнением прямой. Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на из начала координат,

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения прямой ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), параллельно вектору Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения прямой. Пусть прямая проходит через две точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ).

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая не параллельна оси Ox. Тогда она пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов. Угол, отсчитываемый от оси Ox к прямой против часовой стрелки, называют углом наклона прямой к оси Ox. Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой. Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.

Пусть прямая не параллельна оси Ox и Oy и проходит через точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ) (где x 1 < x 2 ). Найдем угловой коэффициент этой прямой.

Уравнение y – y 1 = k·(x – x 1 ) – это уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1,y 1 ) и имеющей угловой коэффициент k. Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y 1 – kx 1 ). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой y = b или y = 0·x + b, где k = 0 – угловой коэффициент прямой.