Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (замена переменных, приложения)

4. Замена переменных в двойном интеграле Пусть (σ) – замкнутая квадрируемая область в плоскости xOy, f(x,y) – ограничена и непрерывна в области (σ) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, площади нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v), y = ψ(u,v), (u,v) (G)(1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1):

Пусть функции φ(u,v), ψ(u,v) такие, что каждая точка (u,v) (G) переходит в некоторую точку (x,y) (σ), и каждой точке (x,y) (σ) соответствует некоторая точка (u,v) (G). В этом случае: 1)говорят: «если точка (u,v) пробегает область (G), то соответствующая ей точка (x,y) = (φ(u,v), ψ(u,v)) пробегает область (σ)»; 2)функции (1) называют отображением области (G) на область (σ). Область (σ) называют образом области (G), область (G) – прообразом области (σ) при отображении (1).

Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой квадрируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (σ)); б)функции φ(u,v), ψ(u,v) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; во всех точках области (G). Тогда справедлива формула (2) Формулу (2) называют формулой замены переменных в двойном интеграле, определитель I(u,v) называют якобианом отображения (1).

Замечание. Формулы (1) рассматривались как отображение (G) на (σ). Но им можно придать и другой геометрический смысл. В силу однозначности соответствия (x,y) (u,v), пару чисел (u,v) можно рассматривать как координаты точки M(x,y) в другой системе координат (криволинейной системе координат). Тогда (1) – связь криволинейных и декартовых координат точки. При такой интерпретации, применяя формулу (2), не потребуется находить область (G).

5. Геометрические и физические приложения двойных интегралов 1)Объем V цилиндрического тела (V), с основанием (σ) xOy, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y): 2)Площадь σ квадрируемой области (σ) xOy: 3)Площадь S гладкой поверхности (S), заданной уравнением z = f(x,y) : где (σ) xOy – проекция поверхности (S) на плоскость xOy.

Пусть (σ) – материальная бесконечно тонкая пластинка (квадрируемая область (σ) xOy) с плотностью γ(x,y). Тогда – масса пластинки (σ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно – статические моменты пластинки (σ) относительно осей Ox и Oy соответственно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

– координаты центра тяжести (σ). – моменты инерции пластинки (σ) относительно осей Ox и Oy соответственно. – момент инерции пластинки (σ) относительно начала координат