Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд

2. Свойства степенных рядов ЛЕММА 2. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [a;b], целиком лежащем внутри его интервала сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ леммы 2. Степенной ряд равномерно сходится в интервале сходимости ЛЕММА 3. Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СЛЕДСТВИЕ леммы 3. Ряды имеют тот же радиус сходимости, что и ряд a n x n СЛЕДСТВИЕ леммы 2 и 3. Ряды равномерно сходятся в интервале сходимости.

Из леммы 2 и 3, их следствий и свойств равномерно сходящихся рядов следует, что степенные ряды обладают свойствами: 1)Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости. 2)Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости. 3)Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз.

Замечание. Если конец интервала сходимости входит в область сходимости, то сумма степенного ряда будет в этой точке непрерывна, т.к. справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 4 (Абеля о сумме степенного ряда на концах интервала сходимости). Пусть ряд a n x n сходится на (– R ; R) к функции S(x). Если ряд сходится на концах интервала сходимости, то его сумма в этих точках равна соответственно

§19. Р РР Разложение функции в степенной ряд ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функция f(x) разложима в ряд на промежутке X, если функциональный ряд f n (x), суммой которого на X является f(x). ЗАДАЧИ: 1)Найти условия, при которых функция f(x) разложима в степенной ряд. 2) Указать этот степенной ряд.

Пусть f(x) – бесконечное число раз дифференцируема в окрест- ности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x 0 (по степеням x – x 0 ) называется степенной ряд вида Ряд Тейлора функции f(x) по степеням x (т.е. x 0 = 0) называют рядом Маклорена

ТЕОРЕМА 1 (о разложении функции в степенной ряд). Если функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки x 0, то этот ряд является ее рядом Тейлора по степеням x – x 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечание. Существование для функции ряда Тейлора не гарантирует разложение функции в степенной ряд. Сумма ряда Тейлора функции f(x) может не совпадать с самой функцией f(x).

Пусть f(x) – бесконечно дифференцируема в окрестности x 0. для f(x) можно записать ряд Тейлора по степеням x – x 0. Пусть S n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, т.е. S n (x) называют многочленом Тейлора функции f(x) по сте- пеням x – x 0. ПустьR n (x) = f(x) – S n (x) R n (x) называют остаточным членом ряда Тейлора. ТЕОРЕМА 2 (необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора). Ряд Тейлора по степеням x – x 0 для функции f(x) сходится к f(x) в некоторой окрестности точки x 0

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора ). Если f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности x 0 и все ее производные ограничены в совокупности, то f(x) разлагается в этой окрестности в ряд Тейлора по степеням x – x 0.

§20. Р РР Ряды Маклорена некоторых элементарных функций

Доказать самостоятельно:

Доказать самостоятельно: