3. Замена переменных в двойном интеграле Пусть (σ) – замкнутая квадрируемая область в плоскости xOy, f(x,y) – ограничена и непрерывна в области (σ) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, площади нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v), y = ψ(u,v), (u,v) (G)(1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1):

Пусть функции φ(u,v), ψ(u,v) такие, что каждая точка (u,v) (G) переходит в некоторую точку (x,y) (σ), и каждой точке (x,y) (σ) соответствует некоторая точка (u,v) (G). В этом случае: 1)говорят: «если точка (u,v) пробегает область (G), то соответствующая ей точка (x,y) = (φ(u,v), ψ(u,v)) пробегает область (σ)»; 2)функции (1) называют отображением области (G) на область (σ). Область (σ) называют образом области (G), область (G) – прообразом области (σ) при отображении (1).

Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой квадрируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (σ)); б)функции φ(u,v), ψ(u,v) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; Формулу (2) называют формулой замены переменных в двойном интеграле, определитель I(u,v) называют якобианом отображения (1).

4. Геометрические и физические приложения двойных интегралов 1)Объем V цилиндрического тела (V), с основанием (σ) xOy, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y): 2)Площадь σ квадрируемой области (σ) xOy: 3)Площадь S гладкой поверхности (S), заданной уравнением z = f(x,y) : где (σ) xOy – проекция поверхности (S) на плоскость xOy.

Пусть (σ) – материальная бесконечно тонкая пластинка (квадрируемая область (σ) xOy) с плотностью γ(x,y). Тогда