Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Фурье Лектор Пахомова Е.Г г.

Пусть f(x) определена на (a;b) (возможно a = – или(и) b = + ). Интегральным преобразованием функции называется функция F(u), определенная равенством где K(x,u) – фиксированная функция, называемая ядром интегрального преобразования. Классификацию интегральных преобразований проводят по виду его ядра: – преобразование Фурье, – преобразование Лапласа.

§ 10. Преобразование Фурье ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразованием Фурье (образом Фурье) функции f(x) называется функция комплексного переменного ОБОЗНАЧЕНИЕ: F( ) = Φ[f(x)] Ранее было получено: Интеграл где называется интегралом Фурье функции f(x) в комплексной форме.

ТЕОРЕМА 1 (о существовании образа Фурье). Пусть f(x) определена на и удовлетворяет условиям: 1) f(x) абсолютно интегрируема на ; 2) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая на любом отрезке [– ; ]. Тогда функция f(x) имеет образ Фурье F( ) и справедливо равенство: (1) Равенство (1) называют обратным преобразованием Фурье.

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Будем обозначать: f(x), g(x),… – функции, F( ), G( ),… – их образы Фурье. 1)Линейность преобразования Фурье. Для любых постоянных, с праведливо утверждение: Φ[ f(x) + g(x)] = F( ) + G( ). 2)Свойство подобия. Справедливо утверждение: Φ[ f( x)] = 3)Свойство запаздывания. Справедливо утверждение: Φ[ f(x – )] = e – i F( ).

4) Пусть f(x) дифференцируема на и является б.м. при x Тогда справедливо равенство Φ[ f (x) ] = i F( ). 5) Пусть причем (x) дифференцируема на (a;b). Тогда

6) Пусть f(x) непрерывна на и – сходится. Тогда F( ) дифференцируема и справедливо равенство i F ( ) = Φ[ x f(x)]. В общем случае, справедлива формула: i k F (k) ( ) = Φ[ x k f(x)]. 7) Справедливы утверждения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) и g(x) – интегрируемые на функции. Сверткой функций f(x) и g(x) называется интеграл ОБОЗНАЧАЮТ: f(x) g(x). Очевидно, что f(x) g(x) = g(x) f(x). 8) Справедливо утверждение:

Замечание. Если функция f(x) определена на (0;+ ) и представима на (0;+ ) интегралом Фурье, то используют косинус-преобразование Фурье или синус-преобразование Фурье. Косинус-преобразование Фурье: Синус-преобразование Фурье: Их обратные преобразования: