Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Глава II. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы §7. Двойной интеграл 1. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Цилиндрическим телом с основанием (σ) называют область в пространстве, ограниченную областью (σ) xOy, поверх- ностью z = f(x,y) и цилиндрической поверхностью φ(x,y) = 0, направляющей которой является граница области (σ).

ЗАДАЧА (об объеме цилиндрического тела). Пусть f(x,y) 0, (x,y) (σ). Найти объем V цилиндрического тела (V).

2. Определение и свойства двойного интеграла Пусть (σ) – квадрируемая (т.е. имеющая площадь) область в плоскости xOy, и в области (σ) задана функция z = f(x,y). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.Разобьем область (σ) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (Δσ 1 ), (Δσ 2 ), …, (Δσ n ). 2.В каждой области (Δσ i ) выберем произвольную точку P i (ξ i ;η i ) и вычислим произведение f(P i ) · Δσ i, где Δσ i – площадь области (Δσ i ). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y) по области (σ) (соответствующей данному разбиению области (σ) и данному выбору точек P i ).

Диаметром множества G будем называть наибольшее расстояние между любыми двумя точками множества G. Пусть d i – диаметр (Δσ i ), Число I называется пределом интегральных сумм I n (Δσ i,P i ) при 0, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого разбиения области (σ) у которого

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функция f(x,y) интегрируема в области (σ), то она ограничена в этой области. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования двойного интеграла). Если выполняются условия: 1) область (σ) – квадрируемая, 2)функция f(x,y) ограничена в области (σ) и непрерывна всюду за исключением некоторого множества точек площади нуль, то f(x,y) интегрируема в области (σ).

СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1) Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x,y) – неотрицательна и интегрируема в области (σ), то где V – объем цилиндрического тела с основанием (σ) и ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y). где σ – площадь области (σ). 3)Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е.

4)Двойной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от этих функций, т.е. 5)Если область интегрирования (σ) разбита на две части (σ 1 ) и (σ 2 ), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности двойного интеграла)

6) Если всюду в области (σ) f(x,y) > 0 (f(x,y) 0), то 7) Если всюду в области (σ) f(x,y) (x,y), то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 8)Следствие свойств 7 и 2. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области (σ), то где σ – площадь области (σ).

9)Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой и ограниченной области (σ), то найдется такая точка P 0 (x 0,y 0 ) (σ), что справедливо равенство где σ – площадь области (σ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

3. Вычисление двойного интеграла Назовем область (σ) правильной в направлении оси Oy (Ox), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (σ) параллельно оси Oy (Ox) пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x, y) интегрируема в области (σ). 1)Если область (σ) – правильная в направлении оси Oy, то где y = 1 (x), y = 2 (x) – уравнения кривых, ограничиваю щих область (σ) снизу и сверху соответственно, [a;b] – проекция области (σ) на ось Ox. 2) Если область (σ) – правильная в направлении оси Ox, то где x = f 1 (y), x = f 2 (y) – уравнения кривых, ограничивающих область (σ) слева и справа соответственно, [c;d] – проекция области (σ) на ось Oy.