Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Векторное поле

§13. В В В Векторное поле 1. Определение векторного поля ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в про- странстве Oxyz. Говорят, что на G задано векторное поле (векторная функция), если в каждой точке M(x;y;z) G задан вектор ā, длина и направление которого зависят от координат точки M. Записывают: ā= ā(x;y;z)= ā(M) илиā= P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k Векторное поле может зависеть не только от координат точки, но и от времени. Такое поле называют нестационарным (переменным). Будем рассматривать только стационарные (не зависящие от времени) векторные поля.

Частные случаи векторных полей: 1) Однородное поле Векторное поле называется однородным, если ā(M) – посто- янный вектор, т.е. ā(M) = ā. 2) Плоское поле Векторное поле называется плоским, если в выбранной системе координат координаты вектора ā(M) не зависят от одной переменной, причем проекция вектора ā(M) на ось отсутствующей переменной – нулевая. Например, ā= P(x;y)i+ Q(x;y)j Основные характеристики векторных полей 1) Векторные линии 2) Поток вектора 3) Дивергенция 4) Циркуляция 5) Ротор

2. Векторные линии ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторной линией векторного поля ā(M) называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением поля (т.е. с вектором ā(M) ). ПРИМЕРЫ: 1)В поле скоростей текущей жидкости векторные линии – ли- нии тока жидкости. 2)В электрическом (электромагнитном) поле векторные линии – силовые линии. В векторном поле ā= P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k векторные линии – решение системы дифференциальных уравнений

3. Поток вектора. Дивергенция Поток вектора и дивергенция – характеристики интенсивности поля. Пусть в области G Oxyz задано векторное поле: ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k (S) – незамкнутая ориентированная поверхность в G. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Потоком векторного поля ā(M) (вектора ā(M) ) через поверхность (S) называется величина K, равная

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОТОКА ВЕКТОРА Пусть имеется текущая жидкость: (M) – поле скоростей текущей жидкости. (S) – незамкнутая двусторонняя поверхность, помещенная в жидкость Найдем K – количество жидкости, протекающей через (S) за единицу времени (в направлении нормали N ̄ ). 1) Пусть (S) – плоская область, – const, (S). K = S | |

2) Пусть (S) – плоская область, – угол между и N ̄. K = S cos | | Пусть n ̄ (S) и | n ̄ | = 1. Тогда K = S (n ̄, )

3) Рассмотрим общий случай. Пусть (S) – произвольная поверхность, = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k а)Разобьем (S) на n частей, неимеющих общих внутренних точек:(ΔS 1 ), (ΔS 2 ), …, (ΔS n ). б)На каждой части (ΔS i ) выберем произвольную точку M i Если (ΔS i ) – мала, то (ΔS i ) можно считать плоской, а скорость жидкости постоянной и равной (M i ) K i ΔS i (n ̄ (M i ), (M i ) ) где K i – поток жидкости через (ΔS i ). где d i – диаметр (ΔS i ),

Получили: Таким образом, если (M) – поле скоростей текущей жидкости, то K – количество жидкости, протекающей через поверхность (S) за единицу времени (в направлении нормали).

Если угол между нормалью к поверхности и вектором (M) тупой, то K

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОТОКА ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ Пусть (M) – поле скоростей текущей жидкости, (S) – замкнутая поверхность (внешняя сторона), ограни- чивающая область (V) Тогда K=K 2 –K 1, где K 1 – количество жидкости втекающей в область (V), K 2 – количество жидкости вытекающей из (V) за единицу времени. 1) Если K>0, то из (V) вытекает жидкости больше чем втекает (внутри области (V) имеются источники, добавляющие жидкость) 2)Если K

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дивергенцией векторного поля в точке M называется предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность, окружающую точку M, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку M. ОБОЗНАЧАЮТ: divā(M). Таким образом, если ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k то Если divā(M)>0, то точка M называется источником. Если divā(M)

ТЕОРЕМА. Пусть в области G Oxyz задано векторное поле: ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k, причем функции P,Q,R и их частные производные непре- рывны в G. Тогда M G существует divā(M) и справедлива формула ОБОЗНАЧИМ: Этот символический вектор называют набла-вектором или оператором Гамильтона. divā(M) = ( ̄,ā)

ТЕОРЕМА Остроградского – Гаусса в векторной форме. Поток вектора ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k изнутри замкнутой поверхности (S) (т.е. нормаль к поверхности внешняя) равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора по телу, ограниченному поверхностью (S): ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ Остроградского – Гаусса: В поле скоростей текущей жидкости поток жидкости через замкнутую поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков ограниченных этой поверхность. СВОЙСТВА ДИВЕРГЕНЦИИ 1) Если ā(M) = const, то divā(M) = 0; 2) Если C 1,C 2 – const, то div(С 1 ā 1 + С 2 ā 2 ) = С 1 divā 1 + С 2 divā 2 ; 3) Если u = u(x,y,z) = u(M), то div[u(M) · ā(M)]= u(M) · divā(M) +(grad u(M), ā(M))

4. Циркуляция. Ротор Циркуляция и ротор – характеристики вращательной способности поля. Пусть в области G Oxyz задано векторное поле: ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k ( ) – замкнутый контур в G. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Циркуляцией векторного поля ā(M) (вектора ā(M) ) по замкнутому контуру ( ) называется величина C, равная ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА Если ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k – сила, под действием которой точка перемещается по контуру ( ), то циркуляция вектора ā(M) – работа силы.

Наибольшего значения циркуляция будет достигать если ( ) – векторная линия. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ротором векторного поля ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k называется вектор ОБОЗНАЧАЮТ: rotā(M) Имеем:

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РОТОРА Вектор rotā(M) указывает направление, ортогонально которому вращательная способность поля наибольшая. ТЕОРЕМА (формула Стокса в векторной форме). Циркуляция вектора ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность, ограниченную этим контуром (говорят: натянутую на этот контур).

СВОЙСТВА РОТОРА 1) Если ā(M) = const, то rotā(M) = 0 ̄ ; 2) Если C 1,C 2 – const, то rot(С 1 ā 1 + С 2 ā 2 ) = С 1 rotā 1 + С 2 rotā 2 ; 3) Если u = u(x,y,z) = u(M), то rot[u(M) · ā(M)]= u(M) · rotā(M) +[grad u(M), ā(M)] ; 4) rot(grad u) = 0 ̄ ; 5) div(rotā) = 0.