Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание). Частные производные и дифференциалы сложных ФНП. Дифференцирование неявных функций

3. Дифференциалы высших порядков ФНП Пусть z = f(x,y) дифференцируема в области D 1 D(f). Ее дифференциал dz(M) – функция переменных x, y, dx, dy. Далее будем dz(M) называть дифференциалом 1-го порядка. Зафиксируем значение dx и dy. Тогда dz(M) станет функцией двух переменных x и y. Дифференциал функции dz(M) (если он существует) называется дифференциалом 2-го порядка функции z = f(x,y) (или вто- рым дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозначается d 2 z, d 2 f(x,y). d 2 z(M) – функция переменной x и y. Дифференциал функции d 2 z(M) (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции z = f(x,y) (или третьим дифференциалом функции z = f(x,y)) и обозна- чается d 3 z, d 3 f(x,y).

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции z = f(x,y) как дифференциал от ее диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d n z, d n f(x,y). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x,y) в точке (x 0,y 0 ) обозначают d n z(M 0 ), d n f (x 0,y 0 ). Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция z = f(x,y) имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 3 (о связи дифференциала n-го порядка и n-х частных производных). Если все производные k-го порядка функции z = f(x,y) в области D непрерывны, то она k раз дифференцируема. При этом имеет место символическая формула

Замечание. 1) Чтобы записать дифференциал по формуле (6) необходимо: а) формально раскрыть скобку по биномиальному закону, б) умножить получившееся выражение на f(x,y), в) заменить каждое произведение частной производной Например, для n = 2 получим: Для n = 3 получим:

2) Символическая формула для нахождения дифференциала d k u функции u = f(x 1,x 2,…x n ) будет иметь вид при условии, что x 1,x 2,…x n – независимые аргументы.

§15. Частные производные сложных ФНП. Дифференциалы сложных ФНП 1. Частные производные сложной функции Пусть z = f(x,y), где x = 1 (u,v), y = 2 (u,v). Тогда z – сложная функция независимых переменных u и v. Переменные x и y называются для z промежуточными переменными. ЗАДАЧА: найти частные производные функции z по u и v. ТЕОРЕМА 1 ( о производной сложной функции). Пусть z = f(x,y), где x = 1 (u,v), y = 2 (u,v). Если f(x,y), 1 (u,v), 2 (u,v) дифференцируемы, то справедливы формулы (1)

Теорема 1 естественным образом обобщается на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если u = f(x 1, x 2, …, x n ), где x i = i (t 1, t 2, …, t m ) (i = 1,2, …, n), то

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ сложной ФНП 1) Пусть z = f(x,y), где x = 1 (t), y = 2 (t). Тогда z – сложная функцией одной переменной t. Если f(x,y), 1 (t), 2 (t) дифференцируемы, то справедлива формула (2) 2) Пусть z = f(x,y), где y = (x) Тогда z – сложная функцией одной переменной x. Если f(x,y), (x) дифференцируемы, то справедлива формула (3) Производная в левой части формулы (3) называется полной производной функции z.

2. Дифференциал сложной функции Пусть z = f(x,y) – дифференцируемая функция 2-х независимых переменных. Тогда, по определению (4) или, в другом виде, (5) Формула (5) остается верна и в том случае, если z = f(x,y) – слож- ная функция. Формула (5) записи полного дифференциала называется инвариантной. УПРАЖНЕНИЕ 1. Показать, что формула (4) неверна, если x и y – функции.

Пусть z = f(x,y) – n раз дифференцируемая функция 2-х незави- симых переменных. Тогда k n (6) Формула (6) тоже не является инвариантной. УПРАЖНЕНИЕ 2. Найти дифференциал 2-го порядка если z = f(x,y), где x = 1 (u,v), y = 2 (u,v).

§16. Дифференцирование неявных функций ТЕОРЕМА 1 (существования неявной функции). Пусть функция F(x 1, x 2, …, x n, u) и все ее частные произ- водные 1-го порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки P 0 (x 01, x 02, …, x 0n, u 0 ). Если F(P 0 ) = 0 и, то такая окрестность U точки M 0 (x 01, x 02, …, x 0n ), в которой уравнение F(x 1, x 2, …, x n, u) = 0 определяет непрерывную функцию u = f(x 1, x 2, …, x n ), причем 1)f(M 0 ) = u 0 ; 2)для любой точки M(x 1, x 2, …, x n ) U 3)функция u = f(x 1, x 2, …, x n ) имеет в окрестности U непрерывные частные производные по всем аргументам.

ЗАДАЧА. Найти частные производные неявно заданной функции. 1) Пусть F(x,y) удовлетворяет условиям теоремы 1 в некоторой окрестности P 0 (x 0,y 0 ) Тогда уравнение F(x,y) = 0 определяет в некоторой окрестности U точки x 0, непрерывную функцию y = f(x). (1) 2)Пусть F(x,y,z) удовлетворяет условиям теоремы 1 в окрестности P 0 (x 0,y 0,z 0 ). Тогда уравнение F(x,y,z) = 0 определяет в некоторой окрест- ности U точки M 0 (x 0,y 0 ) непрерывную функцию z = f(x,y). Так как фактически это обыкновенная производная функ- ции z = f(x,y), рассматриваемой как функция одной пере- менной при постоянном значении другой, то по формуле (1) получаем