Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье по ортогональной системе функций

§22. Тригонометрические ряды Фурье 1. Разложение функции в тригонометрический ряд ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида где a 0, a n, b n (n = 1,2,…) – числа (коэффициенты ряда (1)), (n, > 0) Замечание. Свободный член ряда (1) записан в виде дроби для единообразия последующих формул.

Справедливы утверждения: 1)Если S(x) – сумма ряда (1), то S(x) – периодическая, с периодом T = 2. 2)Если ряд (1) сходится на отрезке, длиной 2, то он сходится на всей числовой оси. В общем случае область сходимости ряда (1) – объединение интервалов вида (a + 2 k ; b + 2 k), где a,b – некоторые числа, k Пусть f(x) – периодическая функция (T = 2 ). 1) Разложима ли f(x) в тригонометрический ряд? 2) Если f(x) разложима в тригонометрический ряд, то как найти его коэффициенты?

Замечания. 1)Периодическую функцию достаточно рассматривать на любом отрезке длиной T. Удобнее всего брать отрезок [– ; ] (где T = 2 ). 2)Имеют место следующие равенства:

Пусть f(x) – периодическая функция (T = 2 ), f(x) – сумма тригонометрического ряда на [– ; ], т.е. Пусть ряд сходится к f(x) на [– ; ] равномерно. Тогда 1) f(x) – непрерывна на [– ; ]; 2) f(x) – интегрируема на [– ; ], причем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тригонометрический ряд коэффициенты которого находятся по формулам (2), (3), (4), называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x). Коэффициенты, определяемые по формулам (2), (3), (4) называются коэффициентами Фурье функции f(x). Таким образом, справедлива теорема: ТЕОРЕМА 1 (о разложении функции в тригонометрический ряд). Если функция разлагается в тригонометрический ряд, то этот ряд является ее тригонометрическим рядом Фурье.

ТЕОРЕМА 2 (Дирихле). Пусть f(x) – периодическая (T =2 ), удовлетворяющая условиям: 1)f(x) на [– ; ] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода; 2)f(x) на [– ; ] монотонна или имеет конечное число точек экстремумов. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой и его суммой будет функция S(x), определенная следующим образом: а) S(x) = f(x), если x – точка непрерывности f(x); б) если x – точка разрыва f(x). При этом тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем в интервале непрерывности функции f(x). Условия теоремы 2 называются условиями Дирихле. Функция, удовлетворяющая 2-му условию Дирихле, называется кусочно-монотонной.

ТЕОРЕМА 3 (2-е достаточное условие разложения функции в тригонометрический ряд). Пусть f(x) – периодическая функция (T = 2 ). Если на [– ; ] функция f(x) и ее производная f (x) непрерывны или имеют конечное число точек разрыва первого рода, то тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой и его суммой будет функция S(x), определенная следующим образом: а) S(x) = f(x), если x – точка непрерывности f(x); б) если x – точка разрыва f(x). При этом тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем в интервале непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условию теоремы 3, называется кусочно-гладкой.

2. Разложение в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций Пусть f(x) – периодическая, T = 2. а) Пусть f(x) – четная. Ее тригонометрический ряд Фурье: где б) Пусть f(x) – нечетная. Ее тригонометрический ряд Фурье: где

3. Разложение в тригонометрический ряд Фурье непериодических функций, заданных на (– ; ) или [0 ; ) а)Пусть f(x) задана на (– ; ) и удовлетворяет на [– ; ] условиям Дирихле (или является кусочно-гладкой). Периодически продолжаем f(x) на, т.е. задаем функцию F(x) такую, что F(x) = f(x), x (– ; ), F(x + 2 k) = F(x), k. Ряд Фурье функции F(x), рассматриваемый только на интер- вале (– ; ), называют рядом Фурье функции f(x) на (– ; ).

б)Пусть f(x) задана на [0 ; ) (или (0 ; )) и удовлетворяет на [0 ; ] условиям Дирихле (или является кусочно-гладкой) Доопределяем f(x) на (– ; 0) (четным или нечетным образом). Получившуюся функцию f(x) периодически продолжаем на. Ряд Фурье периодического продолжения функции f(x), рас- сматриваемый только на [0 ; ), называют рядом Фурье функции f(x) на [0 ; ).

Замечания. 1)Доопределение функции на f(x) четным или нечетным образом позволяет избежать нахождения аналитического выражения функции f(x) на (– ; 0) (т.к. коэффициенты Фурье находятся по формулам (5) или (6). 2) Если f(0) 0, то f(x) лучше продолжать на (– ; 0) четным образом (т.к. 0 в этом случае будет точкой непрерывности функции f(x) ). Если f(0) = 0, то продолжать f(x) на (– ; 0) можно как четным, так и нечетным образом. 3) Если функция задана на [0 ; ), то она разлагается в ряд Фурье не единственным образом.

4. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме Пусть z = x + iy. По определению полагают e z = e x (cosy + i siny). Если x = 0, то e i y = cosy + i siny. e – i y = cosy – i siny (7) Формулы (7) называются формулами Эйлера.

Пусть f(x) – периодическая, T = 2. Тригонометрический ряд Фурье функции f(x) можно записать в более компактной тригонометрической форме: где

§23. Ряды Фурье Пусть (x) и (x) – определены и интегрируемые на [a;b]. (x) и (x) называются ортогональными на [a;b], если Пусть 1 (x), 2 (x), …, n (x), … определены на [a;b] и интегрируемых на [a;b] вместе с их квадратами. Система функций 1 (x), 2 (x), …, n (x), …(8) называется ортогональной на [a;b], если все функции последовательности попарно ортогональны на [a;b], т.е. если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] или имеет на [a;b] конечное число точек разрыва 1 рода. Рядом Фурье функции f(x) на [a;b] по ортогональной системе (8) называется ряд коэффициенты которого определяются по формулам