Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Основные понятия теории числовых рядов.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Кабанова Л. И г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Числовые ряды.
Advertisements

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)
Company Logo Числовые и функциональные ряды Пусть дана последовательность вещественных чисел {a 1, a 2, a 3, …, a n, …}. Определение.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакопеременных рядов.
1.Числовые ряды. Определение. 2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4.Знакопеременные ряды.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакоположительных рядов.
Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными.
Числовые ряды Лекции 10,11. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность. Составим из членов этой последовательности бесконечную.
Числовые ряды Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами (продолжение) Знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды Свойства абсолютно.
Числовые ряды Выполнила: Герасимова Мария хим.факультет МПГУ 1 курс, 1 группа 2014 г.
Определение 1. Выражение называется числовым рядом. Числа называются первым, вторым,...,... членами ряда. называется общим членом ряда. Определение 2.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 7. Тема: Ряды. Определение и свойства. Цель: Рассмотреть.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Комплексные числа. Последовательности комплексных.
Функциональные и степенные ряды Функциональные ряды Степенные ряды Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 1/18.
{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости - пример – радиус интервала сходимости – примеры }
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.1. Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности,
ТЕОРИЯ РЯДОВ. Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросах естествознания и в приближенных вычислениях. С помощью.
Транксрипт:

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Основные понятия теории числовых рядов

Глава III. Числовые ряды §14. О О О Основные понятия теории числовых рядов 1. Основные определения Пусть задана числовая последовательность {u n } ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида u 1 + u 2 + … + u n + … = называют числовым рядом. При этом, члены последовательности {u n } называются члена- ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )

Если начиная с некоторого номера N для членов ряда справедливо равенство u N = u N + 1 = u N + 2 = … = 0, то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным. Ряд u n называют знакоположительным, если u n 0, n ; знакоотрицательным, если u n 0, n ; знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный; знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Для ряда u n запишем последовательность S 1 = u 1, S 2 = u 1 + u 2, …, S n = u 1 + u 2 + … + u n, … Числа S 1, S 2, …, S n называют частичными суммами ряда u n (1-й, 2-й, …, n-й ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд u n называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { S n }. При этом, число называют суммой ряда u n. Если то говорят, что ряд u n расходится и не имеет суммы. Если S – сумма ряда u n, то записывают: u n = S.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЯДОВ 1) Рассматривается в математическом анализе: Определить, сходится или расходится заданный ряд (говорят: «исследовать ряд на сходимость») 2) Рассматривается в вычислительной математике: Найти сумму сходящегося ряда. Найти точное значение суммы S сходящегося ряда удается редко. Обычно полагают S S n где n выбирают так, чтобы | R n | = | S – S n | < ( заранее задано). Число R n называют остатком ряда.

2. Основные свойства числовых рядов ТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Произведением ряда u n на число c называется ряд c u n. 2) Суммой (разностью) рядов u n и v n называется ряд (u n + v n ) [ (u n – v n ) ]. ОБОЗНАЧАЮТ: c u n – произведение ряда на число c ; u n v n – сумма (разность) рядов u n и v n

ТЕОРЕМА 2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами) Еслиряд u n сходится и его сумма равна U, ряд v n сходится и его сумма равна V, то а) ряд cu n – сходится и его сумма равна cU ( c ); б) ряд (u n v n ) – сходится и его сумма равна U V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ теоремы 2. 1) Если u n расходится, то c 0 ( c ) ряд cu n – тоже расходится. 2) Если ряд u n сходится, а ряд v n расходится, то ряд (u n v n ) – расходится..

ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд u n сходится, то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда) Если, то ряд u n расходится. ТЕОРЕМА 4 (закон ассоциативности для сходящихся рядов). Пусть ряд u n сходится и его сумма равна U Если сгруппировать члены этого ряда, НЕ ИЗМЕНЯЯ ИХ ПОРЯДКА, то полученный в результате этого ряд будет сходиться и иметь ту же сумму U.