§3. Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги) 1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла I рода

2. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода Пусть () – спрямляемая (т.е. имеющая длину) кривая в пространстве Oxyz, и на кривой () задана функция u = f(x,y,z). 1.Разобьем кривую () произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (Δ 1 ), (Δ 2 ), …, (Δ n ). 2.На каждой дуге (Δ i ) выберем произвольную точку P i (ξ i ;η i ζ i ) и вычислим произведение f(P i ) · Δ i, где Δ i – длина дуги (Δ i ). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по кривой () (соответствующей данному разбиению кривой () и данному выбору точек P i ).

Пусть Замечание. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления движения по кривой (), т.е.

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е. 3. Криволинейный интеграл I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е. Замечание: предполагаем, что все рассматриваемые в свойствах интегралы существуют.

4.Если кривая ( ) разбита на две части ( 1 ) и ( 2 ), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода Пусть простая (не имеющая кратных точек) кривая ( ) задана параметрическими уравнениями: x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t) (где α t β ).(2) Кривая ( ) называется гладкой, если функции φ(t), ψ(t), χ(t) имеют на [α; β] непрерывные производные. ТЕОРЕМА 1. Если ( ) – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция f(x,y,z) непрерывна на ( ), то f(x,y,z) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство

СЛЕДСТВИЕ 2. Если ( ) – гладкая кривая в плоскости xOy, заданная уравнением y = φ(x) (где x [a;b] ) и функция f(x,y) непрерывна на ( ), то f(x,y) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть ( ) – плоская кривая, заданная в полярных координатах уравнением r=r(φ) (где φ [α;β]). Если функция r(φ) непрерывно дифференцируема на [α;β] и функция f(x,y) непрерывна на ( ), то f(x,y) интегрируема по кривой ( ) и справедливо равенство

ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования криволиней- ного интеграла I рода). Если ( ) – кусочно-гладкая кривая и функция f(x,y,z) кусочно- непрерывна на ( ), то f(x,y,z) интегрируема по кривой ( ).

4. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов I рода 1) Длина спрямляемой кривой ( ) : Пусть ( ) – материальная спрямляемая кривая в пространстве Oxyz с плотностью γ(x,y,z). Тогда

3)Статические моменты кривой ( ) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно:

5)Моменты инерции кривой ( ) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно: