Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного

§5. Дифференцирование функции комплексного переменного 1. Производная функции комплексного переменного Пусть w = f(z) – однозначная функция, f(z) определена в точке z 0 и некоторой ее окрестности. Придадим z 0 приращение z такое, что z 0 + z D(f). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции w = f(z) в точке z 0 называется (если он существует и конечен). Обозначают: Зависимость z f (z) является функцией. Ее называют произ- водной функции f(z) и обозначают :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция w = f(z) называется дифференци- руемой в точке z 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно z части и бесконечно малой более высокого порядка чем z, т.е. f(z 0 ) = A z + α · Δz,(1) где A – комплексное число, α = α(z 0, Δz) – бесконечно малая при Δz 0. Замечание. (1) можно записать в виде f(z 0 ) = A z + ( z), где ( z) – б.м. более высокого порядка чем z. Слагаемое A z в выражении (1) называют дифференциалом функции w = f(z) в точке z 0 и обозначают: dw(z 0 ), df(z 0 ).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция w = f(z) дифференцируема в точке z 0 f (z 0 ). При этом для ее дифференциала в точке z 0 справедливо равенствоdw(z 0 ) = f (z 0 ) z.(2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМА 2. (необходимое и достаточное условие дифферен- цируемости функции) Функция f(z) = u(x,y) + iv(x,y) дифференцируема в точке z 0 =x 0 +iy 0 1) u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в M 0 (x 0,y 0 ) 2)в точке M 0 (x 0,y 0 ) выполняются условия Коши – Римана: Замечание. Если f ʹ (z 0 ) существует, то

Имеем: w = f(z) ТЕОРЕМА 3. (об условии, эквивалентном условиям Коши – Римана) Условия Коши – Римана эквивалентны условию СЛЕДСТВИЕ. Если функция элементарная, то для нее условия Коши – Римана выполняются и производная находится по обычным правилам.

2. Аналитические функции Областью на комплексной плоскости называют открытое и связное множество. (т.е. множество, каждая точка которого – внутренняя и любые две точки которого можно соединить линией, целиком лежащей в этом множестве). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(z) называется аналитической в точке z 0 если она дифференцируема в этой точке и во всех точках некоторой окрестности точки z 0. Аналитические функции называют также регулярными, голоморфными, моногенными, правильными

СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1) Если функция f(z) аналитическая в окрестности точки z 0, то f(z) непрерывна в этой окрестности. 2)Если функции f(z) и φ(z) аналитичны в области D, то f(z)±φ(z) и f(z) · φ(z) тоже аналитичны в этой области. Кроме того, их частное аналитично всюду в области D, где φ(z) 0. 3)Если функция f(z): DE – аналитична в области D, φ(z): EG – аналитична в области E, то функция φ(f(z)) – аналитична в D.

4) Если в окрестности точки z 0 определена аналитическая функция f(z) такая, что f (z 0 )0, то в некоторой окрест- ности точки w 0 = f(z 0 ) определена единственная обратная функция z = φ(w), которая будет аналитической в этой окрестности и для которой справедливо равенство 5)Пусть f(z) – аналитическая в области D. Тогда: а)если f(z) const в D, то | f(z)| не достигает в D своего наименьшего значения; б)если f(z) 0 в D, то | f(z)| не достигает в D своего наибольшего значения; в)если f(z) 0 в D и f(z) непрерывна на границе области D, то | f(z)| достигает своего наибольшего и наимень- шего значения на границе области D. (принцип максимума модуля)

6)Если f(z): и f(z) – ограниченная и аналитическая на всей комплексной плоскости, то f(z)=const. (теорема Лиувилля) 7) Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) – аналитическая в области D, то функции u(x,y) и v(x,y) являются гармоническими Функция φ(x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласса Две гармонические функции u(x,y) и v(x,y), удовлет- воряющие условиям Коши – Римана называются сопря- женной парой гармонических функций (порядок функций в паре существенен!) 8) Если f(z) – аналитическая в области D, то действительная (мнимая) часть определяет ее с точностью до константы.

9)Пусть f(z) – аналитическая в области D, z 0 D и f (z 0 ) 0. Тогда все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z 0 при отображении f(z) поворачиваются на один и тот же угол, равный argf (z 0 ), и получают одно и то же растяжение, равное | f (z 0 )|. (геометрический смысл производной аналитической функции)