Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность фкп

§3. Функция комплексного переменного 1. Основные определения Пусть D,E – множества комплексных чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если z D поставлен в соответствие элемент w E (один или несколько), то говорят, что на множестве D задана функция (отображение) с множеством значений E. Записывают: f: D E, w = f(z) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: D – множество определения функции z (z D) – аргумент (независимая переменная) E – множество значений w (w E) – зависимая переменная (функция) Если z w, то функцию называют однозначной. Если z w 1, w 2, … w n, …, то функцию называют многозначной.

Пусть задана функция w = f(z). Если z = x + iy, w = u + iv, то u = u(x,y), v = v(x,y). Таким образом, f(z) u(x,y), v(x,y). Функции u(x,y) и v(x,y) называются соответственно действи- тельной и мнимой частью функции f(z) Обозначают: Ref(z) и Imf(z). Т.к. f(z) характеризуют 4 переменные (x, y, u, v), то геометри- ческая интерпретация f(z) невозможна. Для геометрической иллюстрации f(z) используют 2 экземпляра комплексных плоскостей: O 1 xy и O 2 uv (D O 1 xy, E O 2 uv).

Задание функции f(z) устанавливает соответствие между двумя множествами D и E: z w, где z D, w E. При этом устанавливается и обратное соответствие: w z. Функция z = (w) называется обратной к f(z). Если f(z) и ее обратная (w) – обе однозначны, то функция f(z) называется однолистной.

2.Элементарные функции комплексного переменного ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой w = f(z), где f(z) – выражение, составленное из основных элементарных функций и комплексных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. ОСНОВНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ Ф.К.П. 1) Степенная: w = z n (n ). Свойства функции а) D = ̅, E = ̅ ( n = ); б) однозначная, неоднолистная. 2) Корень n-степени (n ): Свойства функции а) D = ̅, E = ̅ б) многозначна z ̅ \{0; }.

3) Показательная функция: w = e z e x (cosy + isiny). Свойства функции а) D =, E = \{0}; б) e z | z = x = e x ; в) e z – периодическая, T = 2 i. 4)Тригонометрические функции: w = cosz, w = sinz, w = tgz, w = ctgz. Свойства w = cosz, w = sinz а) D =, E = ; б) cosz | z = x = cosx, sinz | z = x = sinx ; в) периодические, T = 2 ; г) неограниченные; д) cosz – четная, sinz – нечетная; е) имеют только действительные нули cosz = 0 при z = /2 + k, sinz = 0 при z = k.

Свойства w = tgz, w = ctgz а)D(tgz) = \{ /2 + k}, E(tgz) =, D(ctgz) = \{ k}, E(ctgz) = ; б) tgz | z = x = tgx, ctgz | z = x = ctgx ; в) периодические, T = ; г) нечетные; д) имеют только действительные нули ctgz = 0 при z = /2 + k, tgz = 0 при z = k.

6) Гиперболические функции: chz, shz, thz, cthz. Свойства w = chz, w = shz а) D =, E = ; б) chz | z = x = chx, shz | z = x = shx ; в) периодические, T = 2 i ; г) chz – четная, shz – нечетная; д) справедливы равенства (доказать самостоятельно): ch 2 z – sh 2 z = 1 ch(z 1 + z 2 ) = chz 1 chz 2 + shz 1 shz 2 ch2z = ch 2 z + sh 2 z ; sh(z 1 + z 2 ) = shz 1 chz 2 + chz 1 shz 2 sh2z = 2shz chz ; ch(x + iy) = chx cosy + i shx siny ; sh(x + iy) = shx cosy + i chx siny.

Свойства w = thz, w = cthz а)D(thz) = \{( /2 + k)i}, E(thz) =, D(cthz) = \{ ki}, E(cthz) = ; б) thz | z = x = thx, cthz | z = x = cthx ; в) периодические, T = i ; г) нечетные. 7) Натуральный логарифм: w = Lnz : Lnz = ln|z| + i Argz = ln|z| + i argz + i 2 k. Многозначная функция, определенная на \{0}. Функция lnz = ln|z| + i argz называется главным значением логарифма.

8) Обратные тригонометрические: Arcsinz, Arccosz, Arctgz, Arcctgz. 9) Общая степенная: w = z μ, где μ. Многозначная функция, определенная на \{0} формулой w = z μ e μ Lnz. Функция w = e μ lnz называется главным значением общей степенной функции. 10) Общая показательная: w = a z, где a \{0}. Многозначная функция, определенная на формулой w = a z e z Lna. Функция w = e z lna называется главным значением общей показательной функции.

§4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 1. Предел функции комплексного переменного Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z 0 ̅, кроме, может быть, самой точки z 0. U * (z 0, ) = U(z 0, ) \ {z 0 } – проколотая окрестность точки z 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (по Коши, на языке - ). Число w 0 называется пределом функции f(z) при z стремящемся к z 0 (пределом функции f(z) в точке z 0 ), если >0 >0 такое, что если z U * (z 0, ), то f(z) U(w 0, ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (по Гейне, на языке последовательностей). Число w 0 называется пределом функции f(z) при z стремящемся к z 0, если для любой последовательности {z n } значений аргумента, стремящейся к z 0, соответствующая последовательность значений функции {f(z n )} сходится к w 0.

ТЕОРЕМА 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны. Обозначают: Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z 0 = x 0 + iy 0. Из определения 2 и теоремы 1 §2 получаем, что справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 2. Число w 0 = u 0 + iv 0 является пределом функции f(z) = u(x,y) + iv(x,y) при z z 0 Из теоремы 2 следует, что на пределы ф.к.п. переносятся все свойства пределов функций нескольких переменных.

2. Непрерывность функции комплексного переменного Пусть f(z) определена в некоторой окрестности точки z 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 если справедливо равенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке - ). Функция f(z) называется непрерывной в точке z 0 если >0 >0 такое, что если z U(z 0, ) (т.е. | z – z 0 | < ), то f(z) U(f(z 0 ), ) (т.е. | f(z) – f(z 0 ) | < ). Функция, непрерывная в каждой точке множества G, называется непрерывной на множестве G.

Пусть f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z 0 = x 0 + iy 0. Из теоремы 2 получаем, что справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 3. Функция f(z) непрерывна в точке z 0 функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны в точке M 0 (x 0,y 0 ). Из теоремы 3 следует, что на непрерывные ф.к.п. переносятся все свойства непрерывных функций нескольких переменных. В частности, для ф.к.п. будет справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 4 (аналог теоремы Вейерштрасса для ф.к.п.) Пусть D, D – замкнутое и ограниченное, f(z) – непре- рывна на D. Тогда 1) f(z) ограничена на D, т.е. M > 0 такое, что | f(z) | < M, z D ; 2)модуль функции f(z) достигает в D наибольшего и наименьшего значения