Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел

Глава. Теория функций комплексного переменного §1. Комплексные числа (повторение) 1. Определение Выражение вида x + iy (где x,y ) называется комплексным числом (в алгебраической форме). Обозначают: { z = x + iy | x,y } =. Называют:x – действительная часть z (обозначают: Rez ) y – мнимая часть z (обозначают: Imz ). Если x = 0, то к.ч. называют чисто мнимым. Если y = 0, то z = x – действительное число. (говорят: множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел)

2. Арифметические действия над к.ч. Пусть z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. а) Сложение (вычитание) к.ч.: z 1 + z 2 = ( x 1 + x 2 ) +i( y 1 + y 2 ) z 1 – z 2 = ( x 1 – x 2 ) +i( y 1 – y 2 ) б) Умножение к.ч.: z 1 z 2 = ( x 1 x 2 – y 1 y 2 ) +i( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Частный случай – возведение в степень n ( n ): z n = ( x + iy ) n = ( x + iy ) ( x + iy ) … ( x + iy ) в) Деление к.ч: т.е. где z 2 = x 2 – iy 2 – комплексно сопряженное к z 2

3. Геометрическая интерпретация к.ч. Имеем: z = x + iy M(x ;y) Комплексная плоскость

Пусть на комплексной плоскости введена полярная система координат Тогдаx = rcos, y = rsin z = x + iy = r (cos + i sin ) – тригонометрическая форма записи к.ч. НАЗЫВАЮТ: r – модуль к.ч. z, – аргумент к.ч. z ОБОЗНАЧАЮТ: | z | – модуль к.ч. z ; argz – главное значение аргумента (т.е. [0;2 ) или (– ; ] ); Argz – все значения аргумента (т.е Argz = argz + 2 k, k ).

Пусть z 1 = r 1 (cos 1 + i sin 1 ), z 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ). Тогда:1) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos( ) + i sin( ) ], 3) z n = [r (cos + i sin )] n = r n [cos(n ) + i sin(n ) ] (где n ) где

4. Переход от алгебраической формы записи к.ч. к тригонометрической Пусть z = x + iy. Тогда

§2. Последовательности комплексных чисел 1. Определения и основные утверждения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью к.ч. называется перенумерованное множество комплексных чисел. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью к.ч. называется функция, заданная на множестве натуральных чисел и име- ющая множеством значений некоторое множество комплек- сных чисел, т.е z n : Z, где Z. Принято обозначать: n (или k) – аргумент последовательности z n, w n – значения функции Записывают последовательность: { z 1, z 2, …, z n, …} – развернутая запись; { z n } – короткая запись (где z n – общий член)

Пусть задана последовательность {z n } = {x n + iy n } ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число z 0 = x 0 + iy 0 называется пределом последовательности { z n } если >0 N такое, что | z n – z 0 | N. Записывают: Говорят: последовательность {z n } сходится (стремиться) к z 0. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к z 0 ) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К.Ч. Имеем: z 0 = x 0 + iy 0 M 0 (x 0,y 0 ) -окресностью числа z 0 называют открытый круг с центром в M 0 и радиуса. Обозначают: U(z 0, ) если z = x + iy U(z 0, ), то | M 0 M | < (где M(x,y) ) |z – z 0 | < Таким образом U(z 0, ) = { z | |z – z 0 | < } (алгебраическое определение -окрестности точки z 0 )

Если, то с геометрической точки зрения это означа- ет, что в любой -окрестности точки z 0 находятся все члены последовательности {z n }, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности комплексных чисел). z 0 – точка «сгущения» последовательности { z n }. Пусть задана последовательность {z n } = {x n + iy n }. Имеем: {z n } {x n }, {y n }. ТЕОРЕМА 1 (о связи сходимости последовательностей {z n }, {x n }, {y n } ). Последовательность {z n } = {x n + iy n } сходится к z 0 = x 0 + iy 0 сходятся последовательности {x n }, {y n }, причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из теоремы 1 следует, что часть свойств последовательностей действительных чисел остаются справедливыми для последовательностей к.ч. А именно, справедливы следующие утверждения: 1)Отбрасывание (добавление) конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость. 2) Последовательность может иметь не более одного предела 3) Если { z n } z 0, то { | z n | } | z 0 |. 4) Сходящаяся последовательность ограничена.

5) Пусть { z n } и { w n } – сходящиеся последовательности и Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже являются сходящимися последовательностями, причем 6)Если {z n } сходится к z 0, то c последовательность {cz n } тоже сходится, причем (Следствие свойства 5(b))

Пусть задана последовательность {z n } = {r n (cos n + i sin n )}. Имеем: {z n } {r n }, { n }. ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие сходимости последователь- ности к.ч.). Пусть Тогда последовательность {z n }={r n (cos n + i sin n )} – схо- дится, причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Замечание. Утверждение обратное теореме 2 неверно. Например: но ПРИМЕР. С помощью теоремы 2, найти предел последователь- ности где z = x + iy.