Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Системы линейных ДУ: однородные системы Лектор Пахомова Е.Г г.

§3. Системы линейных дифференциальных уравнений 1. Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если функции f 1, f 2, …, f n линейны относительно неизвестных функций, т. е. если она имеет вид (1) или, более кратко, где a ij (x), b i (x) – известные функции, y i (x) – искомые функции. Если все b i (x) 0 (i = 1,2,…n), то система (1) называется однородной.

СЛДУ можно записать в более компактной матричной форме. Пусть Тогда систему (1) можно записать в виде Y = A Y + B или Y – AY = B.(2) Для однородной системы матричная форма записи имеет вид Y = A Y или Y – AY = O,(3) где O – нулевая матрица-столбец длины n.

СЛДУ можно связать с действием некоторого линейного оператора. Пусть C n [a;b] – множество матриц-столбцов длины n, элементы которых – функции, непрерывные на [a;b], D n [a;b] – множество матриц-столбцов длины n, элементы которых – функции, непрерывно дифференциру- емые на [a;b]. C n [a;b] и D n [a;b] – линейные пространства над. Причем D n [a;b] – подпространство C n [a;b]. Пусть L: D n [a;b] C n [a;b], L[Y] = Y – AY, Y D n [a;b]. Тогда система (1) означает, что L[Y] = B.(4) Равенство (4) называется операторной формой неоднородной системы. Операторная форма однородной системы имеет вид: L[Y] = O.(5)

Замечание. Оператор L[Y] – линейный, т. к. справедливы утверждения: 1. L[CY] = CL[Y], C ;(6) 2. L[Y 1 + Y 2 ] = L[Y 1 ] + L[Y 2 ].(7)

2. Интегрирование однородных систем дифференциальных уравнений Рассмотрим линейную однородную систему L[Y] = O,(7) в которой все a ij (x) непрерывны на [a;b]. Замечание. Если a ij (x) непрерывны на [a;b], то в области D = {(x, y 1, y 2, …, y n ) | x [a;b], y i } n+1 для системы (7) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. x 0 [a;b] и y i0 существует единственное решение системы (7), удовлетворяющее условию y 1 (x 0 ) = y 10, y 2 (x 0 ) = y 20, …, y n (x 0 ) = y n0.

ТЕОРЕМА 1. Если Y 1,Y 2,…,Y k – решения линейной однородной системы (7), то для любых постоянных C 1,C 2,…,C n ( C i ) линейная комбинация решений C 1 Y 1 + C 2 Y 2 + … C k Y k тоже является решением системы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть S n [a;b] – множество матриц-столбцов порядка n, элементы которых – решения системы (7). ТогдаS n [a;b] D n [a;b]. По теореме 1, S n [a;b] является подпространством линейного пространства D n [a;b]. Цель: доказать, что S n [a;b] – конечномерное.

Возьмем в пространстве D n [a;b] n векторов: Определитель называется определителем Вронского (вронскианом) векторов Y 1,Y 2,…,Y n. Обозначается: W[Y 1,Y 2,…,Y n ] или W[Y 1,Y 2,…,Y n ](x).

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие линейной зависимости n векторов пространства D n [a;b]). Если векторы Y 1,Y 2,…,Y n линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождественно равен нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Замечание. Теорема 2 дает необходимое условие линейной зависимости векторов Y 1,Y 2,…,Y n. Достаточным это условие для произвольных n элементов из D n [a;b] не будет. Т. е. если W[Y 1,Y 2,…,Y n ] 0, то векторы Y 1,Y 2,…,Y n могут оказаться как линейно зависимыми, так и линейно независимыми. Например, рассмотрим и Y 1,Y 2 – линейно независимы. При этом

ТЕОРЕМА 3 (условие линейной независимости решений системы ЛОДУ). Если n решений Y 1,Y 2,…,Y n линейной однородной системы L[Y] = O линейно независимы на [a;b], то их определитель Вронского W[Y 1,Y 2,…,Y n ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 4 (теоремы 2 и 3). Пусть Y 1,Y 2,…,Y n – решения системы L[Y] = O. Тогда их определитель Вронского W[Y 1,Y 2,…,Y n ] 1) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения Y 1,Y 2,…,Y n – линейно зависимы; 2) либо не обращается в нуль ни в одной точке x [a;b], и это означает, что решения Y 1,Y 2,…,Y n – линейно независимы.

ТЕОРЕМА 5 (о размерности пространства ). Пространство решений S n [a;b] линейной однородной системы L[Y] = O конечномерно и его размерность совпадает с порядком системы, т. е. dimS n [a;b] = n. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Система n линейно независимых решений линейной однородной системы порядка n (базис пространства S n [a;b]) называется его фундаментальной системой решений.

Если матрицы-столбцы образуют фундаментальную систему решений линейной однородной системы, то общее решение этой системы имеет вид Y = C 1 Y 1 + C 2 Y 2 + … C n Y n или, подробнее