Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл

§8. Тройной интеграл 1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая ограниченная область в Oxyz (тело), = (x,y,z) – плотность распределения массы в области (V) ЗАДАЧА. Найти массу m тела (V). 1.Разобьем (V) на n частей (ΔV 1 ), (ΔV 2 ), …, (ΔV n ). 2.Если (ΔV i ) – мала, то (ΔV i ) можно считать однородной и ее массаm i (P i ) · ΔV i, где ΔV i – объем (ΔV i ), P i – произвольная точка из (ΔV i ). Тогда

2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. имеющая объем) область в про- странстве Oxyz, и в области (V) задана функция u = f(x,y,z). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1.Разобьем область (V) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔV 1 ), (ΔV 2 ), …, (ΔV n ). 2.В каждой области (ΔV i ) выберем произвольную точку P i (ξ i ;η i ζ i ) и вычислим произведение f(P i ) · ΔV i, где ΔV i – объем области (ΔV i ). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области (V) (соответствующей данному разбиению области (V) и данному выбору точек P i ).

Пусть d i – диаметр (ΔV i ), Число I называется пределом интегральных сумм I n (ΔV i, P i ) при 0, если для любого >0 существует >0 такое, что для любого разбиения области (V) у которого

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция f(x,y,z) интегрируема в области (V), то она ограничена в этой области. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования тройного интеграла). Если выполняются условия: 1)область (V) – кубируемая, 2)f(x,y,z) ограничена в области (V), 3)f(x,y,z) непрерывна в области (V) всюду (за исключением, возможно, некоторого множества точек объема нуль), то f(x,y,z) интегрируема в области (V).

СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА где V – объем тела (V). 2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, т.е. 3. Тройной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме тройных интегралов от этих функций, т.е.

4.Если область интегрирования (V) разбита на две части (V 1 ) и (V 2 ), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности тройного интеграла). 5. Если всюду в области (V) f(x,y,z) > 0 (f(x,y,z) 0), то 6. Если всюду в области (V) f(x,y,z) (x,y,z), то

7.Следствие свойств 6, 2 и 1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в области (V), то где V – объем области (V). 8.Теорема о среднем для тройного интеграла. Если функция f(x,y,z) непрерывна в замкнутой и ограниченной области (V), то найдется такая точка P 0 (x 0,y 0,z 0 ) (V), что справедливо равенство где V – объем области (V ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

3. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (V) параллельно оси Oz пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением.

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). Если область (V) – правильная в направлении оси Oz, то где z=f 1 (x,y), z=f 2 (x,y) – уравнения нижней и верхней границ области (V) соответственно, (σ) – проекция области (V) на плоскость xOy. Интеграл называют повторным и записывают в виде Интегралназывают внутренним.

4. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая область в пространстве Oxyz, f(x,y,z) – непрерывна в области (V) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, объема нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v,w), y = ψ(u,v,w), z = χ(u,v,w), (u,v,w) (G)(1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1): отображение области (G) пространства Cuvw на некоторую область пространства Oxyz. Пусть функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) такие, что (1) является отображением области (G) на область (V) (т.е. если точка (u,v,w) пробегает область (G), то соответствующая ей точка (x,y,z) пробегает область (V) ).

Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой кубируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (V)); б)функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; в) во всех точках (G). Тогда справедлива формула (2) Формулу (2) называют формулой замены переменных в тройном интеграле, определитель I(u,v,w) называют якобианом отображения (1).

Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле: 1) x = rcosφ, y = rsinφ, z = z 1, где 0 r < +, 0 φ < 2π ( – π

2) x = ρ·cosφ·sinθ, y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ где 0 ρ < +, 0 φ < 2π ( – π

5. Геометрические и физические приложения тройных интегралов 1) Объем V кубируемого тела (V) Oxyz: Пусть (V) – материальное тело (кубируемая область (V) Oxyz) с плотностью γ(x,y,z). Тогда – масса тела (V).

3)Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно – координаты центра тяжес- ти тела (V).

5)Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно: – момент инерции тела (V) относительно начала координат.