Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)

§ 7. Ряды в комплексной плоскости 1. Числовые ряды Пусть задана последовательность комплексных чисел {z n } = {x n + iy n }. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида z 1 + z 2 + … + z n + … = называют комплексным числовым рядом. При этом, члены последовательности {z n } называются члена- ми ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) ) Построим последовательность S 1 = z 1, S 2 = z 1 + z 2, …, S n = z 1 + z 2 + … + z n, … Числа S 1, S 2, …, S n называют частичными суммами ряда z n (1-й, 2-й, …, n-й ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд z n называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { S n }. При этом, число называют суммой ряда z n. Если то говорят, что ряд z n расходится и не имеет суммы. Пусть задан ряд z n = (x n + iy n ) Имеем: z n x n, y n, | z n |. ТЕОРЕМА 1 (о связи сходимости рядов (x n + iy n ), x n, y n ). Ряд z n = (x n + iy n ) сходится к z = x + iy сходятся ряды x n, y n, причем x – сумма ряда x n, y – сумма ряда y n.

Из теоремы 1 следует, что все свойства действительных числовых рядов остаются справедливыми для комплексных числовых рядов: 1)Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если добавить (отбросить) конечное число членов ряда. 2)Если ряд z n сходится и его сумма равна z, ряд w n сходится и его сумма равна w, то а) ряд (z n w n ) – сходится и его сумма равна z w ; б) ряд cz n – сходится и его сумма равна cz ( c 0 ). 3)Если ряд z n сходится, то (необходимый признак сходимости ряда) 4) В любом сходящемся ряде, любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядок, сохраняет сходимость ряда и величину его суммы (закон ассоциативности для рядов).

ТЕОРЕМА 2 (признак абсолютной сходимости) Если ряд | z n | сходится, то ряд z n тоже сходится. ОПРЕДЕЛНИЕ. Ряд z n называют абсолютно сходящимся, если его ряд модулей | z n | сходится. Если ряд z n – сходится, а его ряд модулей |z n | – расходится, то ряд z n называют условно сходящимся. ТЕОРЕМА 3 (о связи абсолютной сходимости рядов (x n + iy n ), x n, y n ). Ряд z n = (x n + iy n ) сходится абсолютно ряды x n, y n сходятся абсолютно.

Из теоремы 3 следует, что все свойства действительных абсолютно сходящихся числовых рядов остаются справедливыми для абсолютно сходящихся комплексных числовых рядов: 1)Если ряды z n и w n сходятся абсолютно, то ряд (αz n βw n ) тоже сходится абсолютно ( α,β ). 2)Если ряд z n сходится абсолютно, то ряд, полученный из него в результате перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. Если ряд z n сходится условно, то можно так переставить члены ряда, что сумма получившегося ряда будет равна любому, заранее заданному числу. Более того, можно так переставить члены ряда, что получившийся ряд будет расходиться.

2. Функциональные ряды Пусть задана последовательность фкп {f n (z)} с общим множеством определения D. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида f 0 (z) + f 1 (z) + … + f n (z) + … = называют комплексным функциональным рядом. При этом, члены последовательности {f n (z)} называются членами ряда (0-м, 1-м, …, n-м (общим членом) ). Пусть z 0 D. Рассмотрим числовой ряд f n (z 0 ). Если ряд f n (z 0 ) сходится, то говорят, что ряд f n (z) сходится в точке z 0. МножествоD 1 ={ z 0 D | f n (z 0 ) –сходится} называют областью сходимости функционального ряда f n (z).

Функция f(z), определенная на множестве D 1 и такая, что ее значение в любой точке z 0 D 1 совпадает с суммой числового ряда f n (z 0 ), называется суммой функционального ряда f n (z) (1-е определение суммы функционального ряда). Построим последовательность S 1 (z) = f 1 (z), S 2 (z) = f 1 (z)+f 2 (z), …, S n (z) = f 1 (z)+f 2 (z)+…+ f n (z), … Функции S 1 (z), S 2 (z), …, S n (z) называются частичными суммами ряда f n (z). МножествоD 2 ={ z 0 D | {S n (z 0 )} –сходится} называют областью сходимости функциональной последовательности {S n (z)}. Функция f(z), определенная на множестве D 2 и такая, что ее значение в любой точке z 0 D 2 совпадает с пределом последовательности {S n (z 0 )}, называется пределом функциональной последовательности {S n (z)}.

Из определения суммы числового ряда, получаем: а)D 1 =D 2 ; б)Предел функциональной последовательности {S n (z)} есть сумма ряда f n (z) (2-е определение суммы функциональ- ного ряда). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексный функциональный ряд f n (z) называется равномерно сходящимся к f(z) на множестве H D 1, если >0 N такой, что | S n (z) – f(z) | N и z H ТЕОРЕМА 4 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд f n (z) сходится равномерно на множестве H к функции f(z) >0 N такой, что | S n+k (z) – S n (z) | = | f n+1 (z) + … + f n+k (z) |N и z H.

ТЕОРЕМА 5 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Если ряд f n (z) мажорируется на H сходящимся числовым рядом a n, то он сходится на H равномерно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функциональный ряд f n (z) мажорируется на множестве H числовым рядом a n, если | f n (z) | < a n, n. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1)Если f n (z) сходится на множестве H равномерно и (z) – ограничена на H, то ряд (z)f n (z) тоже сходится на H равномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

2)Пусть f n (z) сходится к f(z) на множестве H равномерно, z 0 H и существуют Тогда: а) числовой ряд c n сходится; б) сумма ряда c n равна Иначе говоря, 3)Если ряд f n (z) сходится на множестве H равномерно и в точке z 0 H все функции f n (z) непрерывны, то сумма ряда f(z) тоже непрерывна в точке z 0.

4) Если функции f n (z) непрерывны на кусочно-гладкой кривой (AB) и ряд f n (z) сходится на (AB) равномерно к f(z), то этот ряд можно почленно интегрировать вдоль кривой f(z), т.е. справедливо равенство 5) Если функции f n (z) аналитичны в области H и ряд f n (z) сходится в H равномерно, то его сумма f(z) тоже является функцией аналитической в H.

6) Если функции f n (z) аналитичны в области H и ряд f n (z) сходится к f(z) в H равномерно, то этот ряд можно в H дифференцировать почленно любое число раз, т.е. справедливо равенство Замечание. Для почленного дифференцирования действительного функционального ряда требуется более сильное условие – равномерная сходимость ряда производных.