3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1,a 2, …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1,a.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление.

Advertisements

Элементы векторной алгебры Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна В асильевна.

§ 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка.

План лекции: 1. Векторы. Линейные операции над векторами. 2. Линейная зависимость и независимость векторов. 3.Понятие базиса. Координаты вектора. 4. Разложение.

Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Системы линейных ДУ: однородные системы Лектор Пахомова Е.Г г.

§ 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V – линейные пространства над F (где F – множество рациональных, действительных или.

3. Ранг матрицы Элементы линейной алгебры. Ранг матрицы (1) Минором к – го порядка матрицы А называется определитель к – го порядка с элементами, стоящими.

Лектор Белов В.М г. Тема: Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений.

§10. Евклидовы линейные пространства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть E – линейное пространство над. Отображение f:(x,y), которое каждой паре элементов x,y E ставит.

Линейной комбинацией векторов называется вектор где - любые действительные числа.

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 2. Тема: Обратная матрица Цель: Рассмотреть понятие.

Свойства линейных операций над матрицами Свойства линейных операций над векторами.

Системы линейных уравнений Лекция 3. Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты.

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно.

Линейная алгебра Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг матрицы Исследование систем линейных уравнений Однородные системы линейных уравнений.

§2. Определители 1. Вспомогательные определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть n – натуральное число. Факториалом числа n (обозначают: n!) называют произведение натуральных.

Системы линейных уравнений.. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, …, х n называется система вида a ij - коэффициенты системы, i=1,…,m;

Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Определение: Определение. Система n уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

§2. Определители 1. Вспомогательные определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть n – натуральное число. Факториалом числа n (обозначают: n!) называют произведение натуральных.

Транксрипт:

3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1,a 2, …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1,a 2, …, a k линейно зависимы, если существуют числа 1, 2, …, k, не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 · a · a 2 + …+ k · a k равна нулевому элементу o линейного пространства L. Если равенство 1 · a · a 2 + …+ k · a k = o возможно только при условии 1 = 2 = …= k =0, то векторы a 1,a 2, …, a k называют линейно независимыми. ЛЕММА 4 (Критерий линейной зависимости векторов). Векторы a 1,a 2, …, a k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 4.

ТЕОРЕМА 5 (о базисном миноре матрицы). Если r(A)=r, то 1) В матрице A ровно r линейно независимых строк (столбцов), причем это те строки (столбцы), элементы которых входят в базисный минор («базисные» строки (столбцы)). 2) Любая строка (столбец) матрицы выражается через ее базисные строки (столбцы). ТЕОРЕМА 6 (критерий равенства нулю определителя). Определитель равен нулю хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов). Другая формулировка теоремы 6: Определитель равен нулю строки (столбцы) определителя линейно зависимы. ТЕОРЕМА (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства. Иначе говоря, векторы e 1,e 2, …, e n L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e 1,e 2, …, e n – линейно независимы; 2) e 1,e 2, …, e n,a – линейно зависимы для любого вектора a L. ТЕОРЕМА 7. Любые два базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то пространство называют конечномерным, а n называют размерностью линейного пространства (пишут: dimL = n). Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dimL= ). ТЕОРЕМА 8 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.