§12. Основные алгебраические структуры Пусть M некоторое множество. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что на множестве M задана бинарная алгебраическая операция если любой паре элементов из этого множества поставлен в соответствие единственный и однозначно определённый элемент из этого же множества. ЗАПИСЫВАЮТ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Операция называется ассоциативной, если (a b) c=a (b c), a,b,c M. 2) Операция называется коммутативной, если a b=b a, a,b M. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество M, с введенной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией называется полугруппой.

Пусть на множестве M задана бинарная алгебраическая операция. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент e M называется нейтральным, если a e = e a = a, a M. ЛЕММА 1. Если в M существует нейтральный элемент, то он единственный. Пусть на множестве M задана бинарная алгебраическая операция с нейтральным элементом e. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент a / M называется симметричным к элементу a M, если a a / = a / a = e. ЛЕММА 2. Если M – полугруппа и элемент a M имеет симметричный элемент, то этот симметричный элемент единственный.

ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Если операция обозначена символом «+», то ее принято называть сложением. В этом случае, нейтральный элемент принято называть нулевым и обозначать символом 0 или o; симметричный для a элемент принято называть противоположным к a и обозначать – a. 2) Если операция обозначена символом « », то ее принято называть умножением. Нейтральный элемент для операции умножение принято называть единичным (обозначают символом 1), симметричный для a элемент – обратным к a (обозначают a -–1 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество M с заданной на нем бинарной алгебраической операцией называется группой, если 1) M – полугруппа; 2) в M существует нейтральный элемент; 3) для каждого элемента a M существует симметричный элемент a / M. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если M ; – группа и операция – коммутативна, то группы M называется коммутативной (абелевой). Пусть K – непустое множество, с двумя бинарными алгебраическими операциями +(сложение) и (умножение). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество K называют кольцом, если 1) K ; + – абелева группа; 2) K ; – полугруппа; 3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. a (b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca, a,b,c K.

ЛЕММА 3. Пусть K – кольцо. Тогда a · 0 = 0 · a = 0, a K. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть K – кольцо. Элементы a,b K называются делителями нуля, если a 0, b 0 и a · b = 0. (элемент a называют левым делителем нуля, b – правым делителем нуля) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения – коммутативна.

Пусть K – кольцо, содержащее не только нулевой элемент. K* = K \ {0}. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коммутативное кольцо K, содержащее не только нулевой элемент, называется полем, если все его элементы отличные от нуля образуют группу относительно умножения. Иначе говоря, K – поле, если 1) K {0} 2) K ; + – абелева группа; 3) K * ; – абелева группа; 4) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Характерные отличия поля от кольца: 1.Любое поле содержит единичный элемент, так как относительно умножения все элементы, отличные от нулевого, образуют группу. Кольцо не обязательно содержит единичный элемент. 2. Поле не содержит делителей нуля. 3.В поле справедлив закон сокращения для умножения, в кольце он необязательно имеет место.