Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Системы дифференциальных уравнений Общие понятия.
Advertisements

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или.
Дифференциальные уравнения. Основные понятия.. Дифференциальные уравнения. Задача о первообразной. Найти функцию такую, что Решение.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Дифференциальные уравнения: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность.
Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она.
Def. Точка z 0 g называется точкой сгущения (предельной точкой) g, если в Def. (по Гейне) Комплексное число w 0 называется пределом f(z) z g, в точке z.
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.
Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Экстремумы ФНП. Условные экстремумы ФНП.
Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Функция нескольких переменных Определение. Точкой x в n-мерном пространстве.
Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
Неотрицательное решение задачи Коши. Нередко постановка задачи требует чтобы фазовые переменные принимали лишь неотрицательные значения. Так, в физических.
Транксрипт:

Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ

§16. Понятие устойчивости решения ДУ 1. Предварительные замечания ТЕОРЕМА 1 (о непрерывной зависимости решения от началь- ных условий). Пусть для уравнения y = f(x,y) выполняются два условия: 1) f(x,y) непрерывна в некоторой области D плоскости xOy, 2) в области D ограничена. Тогда для любой точки M 0 (x 0,y 0 ) D решение y = (x), удов- летворяющее начальному условию y 0 = (x 0 ), непрерывно зависит от начальных данных на отрезке [a;b], содер- жащем x 0. Если решение задачи Коши, единственно и непрерывно зависит от начальных данных, то говорят, что задача Коши поставлена корректно.

2. Устойчивость по Ляпунову

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение y = (x) уравнения y = f(x,y) называ- ется устойчивым по Ляпунову при x +, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для всякого ре- шения y = ỹ(x) этого уравнения из неравенства (2) следует неравенство (3) для всех x x 0. (т.е. решения, близкие по начальным значениям к решению y = (x), остаются близкими и при всех x x 0 ).

Геометрический смысл определения Решение y = (x) устойчиво, если для любой -полоски, содержащей кривую y = (x), достаточно близкие к ней при x = x 0 интегральные кривые y = ỹ(x) целиком содержатся в указанной -полоске при всех x x 0.

Если при сколь угодно малом > 0 хотя бы для одного решения y = ỹ(x) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение y = (x) этого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при x +.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение y = (x) уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если 1) решение y = (x) устойчиво, 2)существует 1 > 0 такое, что для любого решения y = ỹ(x) уравнения (1), удовлетворяющего условию имеем(4) (т.е. все решения y = ỹ(x), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению y = (x), не только остаются близкими к нему при x x 0, но и неограниченно сближаются с ним при x + ).