§ 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V – линейные пространства над F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, заданная на L и имеющая областью значений V 1 V называется оператором (преобразованием), действующим из L в V. Оператор, действующий из L в L, называют оператором пространства L. Если оператор φ:L V, φ:x y, то y называется образом элемента (вектора) x и обозначается φ(x) или φx, x называют прообразом элемента (вектора) y.

Оператор φ называется линейным, если для любых x 1,x 2 L и любого α F выполнены следующие условия: 1) φ(x 1 +x 2 ) = φ(x 1 ) + φ(x 2 ), 2) φ(α · x) = α · φ(x). Первое условие называется свойством аддитивности, второе – свойством однородности оператора. Вместе оба эти свойства называются свойствами линейности оператора и могут быть записаны в виде φ(α · x 1 + β · x 2 ) = α · φ(x 1 ) + β · φ(x 2 ) где x 1,x 2 L, α,β F. ЛЕММА 1. Если φ – линейный оператор, то φ(o) = o.

2. Линейные операторы конечномерных пространств Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n, e 1,…,e n – базис L n Разложим векторы φ(e i ) по базису e 1,e 2,…e n : φ(e 1 ) = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n1 e n, φ(e 2 ) = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n2 e n, ……………………………….. φ(e n ) = a 1n e 1 + a 2n e 2 + … + a nn e n. Матрицу A составленную из координат векторов φ(e i ) в базисе e 1,e 2,…,e n называют матрицей линейного оператора φ в базисе e 1,e 2,…,e n (относительно базиса e 1,e 2,…e n )

Если A – матрица линейного оператора φ в базисе e 1,e 2,…,e n, то вектор x и его образ y = φ(x) будут связаны следующим соотношением: Y=AX, где X, Y – матрицы – столбцы из координат векторов x и y в базисе e 1,e 2,…,e n. ТЕОРЕМА 2. Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n, e 1,e 2,…,e n и f 1,f 2,…,f n – два базиса пространства, причем f 1 = c 11 e 1 + c 21 e 2 + … + c n1 e n, f 2 = c 12 e 1 + c 22 e 2 + … + c n2 e n, …………………………… f n = c 1n e 1 + c 2n e 2 + … + c nn e n. Если A=[a ij ] – матрица оператора φ в базисе e 1,e 2,…,e n, B=[b ij ] – матрица оператора φ в базисе f 1,f 2,…,f n, то B=C –1 AC, где C=[c ij ] – матрица перехода от базиса e 1,e 2,…e n к базису f 1,f 2,…,f n, т.е.

Квадратные матрицы A и B, для которых найдется невырожденная матрица C такая, что имеет место равенство B=C –1 AC, называются подобными. 3. Диагонализируемость линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор φ n–мерного пространства L n называется диагонализируемым, если в L n существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть φ – оператор пространства L. Если для некоторого ненулевого вектора x L и числа λ имеем φ(x)= λ·x, то число λ называется собственным значением оператора φ, а вектор x называется собственным вектором оператора φ, относящимся к собственному значению λ.

СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ 1. ЛЕММА 3. Каждый собственный вектор x оператора φ относится к единственному собственному значению. 2. ЛЕММА 4. Если x 1 и x 2 – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ, то их линейная комбинация α·x 1 +β·x 2 – собственный вектор оператора φ, относящийся к тому же собственному значению. Следствия ЛЕММЫ 4: а) каждому собственному значению λ соответствует бесконечное множество собственных векторов; б) если к множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к одному и тому же собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получим подпространство пространства L. Это подпространство называется собственным подпространством оператора и обозначается L λ.

3. ЛЕММА 5. Собственные векторы x 1,x 2,…,x k оператора φ, относящиеся к различным собственным значениям λ 1, λ 2,…, λ k, линейно независимы. Следствия ЛЕММЫ 5: а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве L n, не может иметь более n собственных значений; б) в пространстве может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора. ТЕОРЕМА 6. Матрица A оператора φ в базисе e 1,e 2,…,e n имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все базисные векторы e i являются собственными векторами этого оператора. КРИТЕРИЙ ДИАГОНАЛИЗИРУЕМОСТИ ОПЕРАТОРА: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда в пространстве L n существует базис из собственных векторов оператора.

5. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n, x – собственный вектор оператора φ, относящийся к собственному значению λ, т.е. φ(x)= λ·x. Пусть e 1,e 2,…,e n – базис L n, A – матрица линейного оператора φ в базисе e 1,e 2,…,e n Получили: 1) x – собственный вектор оператора φ, относящийся к собственному значению λ, тогда и только тогда, когда его координаты ξ 1,ξ 2,…,ξ n являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λE)X=O. 2) Подпространство L λ является конечномерным, а его базис образуют собственные векторы x 1,x 2,…,x k, координатами которых являются решения из фундаментальной системы решений СЛОУ (A–λE)X=O.

Матрица A–λE называется характеристической матрицей оператора φ (матрицы A). Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λE) – многочлен степени n относительно переменной λ. Этот многочлен называют характеристическим многочленом оператора φ (матрицы A), а его корни – характеристическими корнями оператора φ (матрицы A). Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно является его характеристическим корнем.