Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

§5. Однородные уравнения Функция M(x, y) называется однородной степени m (или изме- рения m), если t 0 справедливо равенство M(tx, ty) = t m M(x, y). ПРИМЕРЫ однородных функций:

Дифференциальное уравнение первого порядка y = f(x, y) называется однородным относительно x и y, если функция f(x, y) является однородной нулевой степени. Дифференциальное уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 является однородным относительно x и y, если функции M(x, y) и N(x, y) – однородные функции одного и того же измерения. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя- ющимися переменными заменой Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри- руются с помощью замены

§6. Уравнения, приводящиеся к однородным 1. Уравнения вида Рассмотрим уравнение(7) Если c 1 = c 2 = 0, то уравнение (7) будет однородным, т.к. Пусть c 1 0 или c 2 0. Тогда уравнение (7) заменой переменных приводится либо к уравнению с разделяющимися переменными, либо к однородному. Это зависит от определителя

а) Если Δ 0, то (7) приводится к однородному уравнению. Действительно, если Δ 0, то система уравнений имеет единственное решение x =, y =. Сделаем в (7) замену переменных: x = t +, y = z +. Тогда: однородное уравнение

б) Если Δ = 0, то уравнение (7) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, если Δ = 0, то строки определителя Δ про- порциональны (см. упражнение в курсе «Линейная алгебра»), т.е.a 2 = a 1, b 2 = b 1. Тогда y = (a 1 x + b 1 y). Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены z(x) = a 1 x + b 1 y.

2. Обобщенно однородные уравнения Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным, если существует такое рациональное число, что каждое слагаемое уравнения – однородная функция степени отно- сительно x, y, y (относительно x, y, dx, dy), если считать x – величиной измерения 1, y – величиной измерения, y (dy) – величиной измерения – 1, dx – величиной измерения 0. Иначе говоря, уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 – обобщен- но однородное, если такое, что P(tx, t y)dx + Q(tx, t y) (t dy) = t m [ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ]. Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному уравнению заменой y = z. Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = zx.