Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие краевой задачи. Задача Штурма – Лиувилля для ОДУ.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Дифференциальные уравнения: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Advertisements

§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан.

Обыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения. Основные понятия.. Дифференциальные уравнения. Задача о первообразной. Найти функцию такую, что Решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или.

ЛЕКЦИЯ Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Метод Эйлера.

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,

{ задача Коши - геометрическая интерпретация дифференциального уравнения второго порядка - приемы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Двойной интеграл (определение, свойства, вычисление)

Степенные ряды Лекции12, 13, 14. Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается. Если при ряд сходится,

Лекция 1: Дифференциальные уравнения. Разностный метод.

Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная.

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл.

Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Л АБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 Тема: Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Функциональные ряды. Функциональные ряды.. Опр-е: Выражение f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой.

Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Предел функции по Гейне Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой.

Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка (однородные с постоянными коэффициентами,

Транксрипт:

Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Понятие краевой задачи. Задача Штурма – Лиувилля для ОДУ

§15. Понятие краевой задачи. Задача Штурма – Лиувилля для ОДУ 1. Понятие краевой задачи Пусть на [a;b] рассматривается ДУ F(x, y, y, y, …, y (n) ) = 0.(24) Требуется найти его решение y(x), удовлетворяющее условиям 0 y(a) + 1 y (a) + … + n – 1 y (n – 1) (a) = y 1, 0 y(b) + 1 y (b) + … + n – 1 y (n – 1) (b) = y 2, где i, i, y i – некоторые числа. Условия (25) называются граничными (краевыми) условиями для уравнения (24).

Нахождение решения уравнения (24), удовлетворяющего заданным краевым условиям, называется краевой (граничной) задачей для ДУ (24). Чтобы решить краевую задачу для ДУ необходимо: 1) найти общее решение ДУ; 2) из граничных условий определить значения произвольных постоянных, входящих в общее решение.

2. Задача Штурма – Лиувилля для ОДУ Уравнением Штурма – Лиувилля называется дифференциальное уравнение 2-го порядка вида (26) где p(x) > 0, q(x) 0, ρ (x) > 0 x (a;b), причём ρ (x) – ограниченная на (a;b). Пусть y(x) – решение уравнения (26), удовлетворяющее одному из следующих условий 1) y(a) = 0; 2) y (a) = 0; 3) y (a) + ky(a)= 0 (k > 0); 4) y(x) ограничена при x a + 0.

В этом случае говорят, что решение y(x) удовлетворяет в точке x = a граничному (краевому) условию соответственно I, II, III или IV рода (или типа). Замечания. 1) Краевые условия I, II или III рода ставятся в точке a только тогда, когда p(x), p (x), q(x), ρ(x) определены и непрерывны на [a;b), причём p(a) 0. 2) Краевое условие IV рода ставится в точке a только тогда, когда ρ(x) 0 при x a + 0. Аналогично граничные условия задаются и на правом конце интервала (a;b).

Пусть задано ДУ Штурма – Лиувилля (26) и краевые условия в точках a и b (тип условия в точке a может не совпадать с типом условия в точке b). Очевидно, что y(x) 0 всегда удовлетворяет такой краевой задаче («тривиальное решение»). Значения для которых задача Штурма – Лиувилля имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие заданным краевым условиям, называют собственными значениями (или собственными числами) данной краевой задачи. Нетривиальные (ненулевые) решения, соответствующие собственным значениям, называют собственными функциями (или собственными решениями). Задача нахождения всех собственных чисел и собственных функций уравнения Штурма – Лиувилля при краевых условиях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типов на концах интервала (a;b) называется задачей Штурма – Лиувилля.

СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1)Все собственные числа неотрицательны и образуют бесконечную возрастающую последовательность: 1 < 2 < … < n …. 2)Каждому собственному числу соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная функция. Каждой собственной функции отвечает только одно собственное число; 3)Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на интервале (a;b) с весом ρ(x), т.е.