Лектор Пахомова Е.Г г. Дифференциальные уравнения Тема: Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли

§7. Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y. В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y + p(x) y = f(x),(8) где p(x), f(x) – заданные непрерывные функции. Если f(x) 0, то линейное уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение y + p(x) y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение: (9)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y + p(x) y = f(x).(8) Существуют два метода его интегрирования. I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) 1)Интегрируем однородное уравнение y + p(x) y = 0, соот- ветствующееданному неоднородному уравнению. Его общее решение имеет вид (9): 2)Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения. Оно имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y и y в исходное неод- нородное уравнение (8).

Получим: Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения (8) имеет вид: (10) Замечания. 1)Раскроем скобки в (10): (11) Заметим, что первое слагаемое в (11) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).

2) Так как e x 0, то любую функцию y(x) можно записать в виде Это является основанием метода вариации постоянной. II) Метод Бернулли. Будем искать решение (8) в следующем виде: y = u(x) v(x). Тогдаy = u v + u v. Подставим y и y в уравнение (8) и получим: u v + u v + puv = f(x) илиu v + u [ v + pv ] = f(x). Полагаем, что функция v(x) такова, что [ v + pv ] = 0. Тогдаu v = f(x).

Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x). При этом получим Замечание. Линейное неоднордное уравнение вида y + p(x) y = b проще интегрировать как уравнение с разделяющимися переменными

§8. Уравнения Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида y + p(x) y = f(x) y n,(13) где p(x), f(x) – заданные непрерывные функции, n 0, n 1 (иначе это будет линейное уравнение). Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению. Для этого надо 1) обе части уравнения (13) разделить на y n, 2) сделать замену z = y 1 – n. Замечания. 1) Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0. Оно будет частным решением при n > 1 (обычно входит в общее при C = ) и особым при 0 < n < 1.

2)Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: z = u(x) v(x), Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.